Análisis de varianza

En estadística, el análisis de la varianza (ANOVA por sus sigloides en inglés, ANalysis Of VAriance) es una colección de modelos estadísticos y sus procedimientos asociados, en el cual la varianza está particionada en ciertos componentes debidos a diferentes variables explicativas. Se utiliza de forma intensiva en el análisis y diseño de experimentos para evaluar el efecto de tratamientos en la variabilidad de la variable respuesta.

Desarrollada por el genetista R. A. Fisher en los años 1920 y 1930 y es algunas veces conocido como "Anova de Fisher" o "análisis de varianza de Fisher", debido al uso de la distribución F de Fisher como parte del contraste de hipótesis.

El análisis de la varianza parte del concepto de regresión lineal, cuya funcionalidad amplía. Así, un análisis de la varianza permite determinar, por ejemplo, si diferentes tratamientos médicos (es decir, un grupo de más de dos tratamientos) muestran diferencias significativas en sus resultados o si por el contrario puede suponerse que sus medias poblacionales no difieren. De este modo el análisis de la varianza permite superar las limitaciones de hacer contrastes bilaterales por parejas entre todos los tratamientos posibles, lo que sería un mal método para determinar si un conjunto de variables con n > 2 difieren entre sí. El primer concepto fundamental es asumir que todo valor observado puede expresarse mediante la siguiente función:

${displaystyle y_{ij}=mu + au _{i}+epsilon _{ij}}$

Donde:

Por tanto, a la función de pronóstico la podemos llamar "media del tratamiento i":

${displaystyle y_{i}=mu + au _{i}}$

Podemos resumir que las puntuaciones observadas equivalen a las puntuaciones esperadas, más el error aleatorio (${displaystyle y_{ij}=y_{i}+e_{ij}}$). A partir de esa idea, se puede operar:

${displaystyle y_{ij}-{overline {y}}=y_{i}+e_{ij}-{overline {y}}}$

${displaystyle sum _{i}sum _{j}(y_{ij}-{overline {y}})^{2}=nsum _{i}(y_{i}-{overline {y}})^{2}+sum _{i}sum _{j}(y_{ij}-y_{i})^{2}}$

Esta ecuación se reescribe frecuentemente como:

${displaystyle SS_{total}=SS_{fact}+SS_{error},}$

de un factor, que es el caso más sencillo, la idea básica del análisis de la varianza es comparar la variación total de un conjunto de muestras y descomponerla como:

${displaystyle SS_{total}=SS_{fact}+SS_{int},}$

Donde:

En el caso de que la diferencia debida al factor o tratamiento no sea estadísticamente significativa puede probarse que las varianzas muestrales son iguales:

${displaystyle {hat {s}}_{fact}={frac {SS_{fact}}{a-1}},qquad {hat {s}}_{int}={frac {SS_{int}}{a(b-1)}}}$

Donde:

Así lo que un simple test a partir de la F de Snedecor puede decidir si el factor o tratamiento es estadísticamente significativo.

Existen tres clases conceptuales de estos modelos:

El ANOVA parte de algunos supuestos o hipótesis que han de cumplirse:

La técnica fundamental consiste en la separación de la suma de cuadrados (SS, 'sum of squares') en componentes relativos a los factores contemplados en el modelo. Como ejemplo, mostramos el modelo para un ANOVA simplificado con un tipo de factores en diferentes niveles. (Si los niveles son cuantitativos y los efectos son lineales, puede resultar apropiado un análisis de regresión lineal)

${displaystyle SS_{hbox{Total}}=SS_{hbox{Error}}+SS_{hbox{Factores}}}$

El número de grados de libertad (gl) puede separarse de forma similar y corresponde con la forma en que la distribución chi-cuadrado (χ² o Ji-cuadrada) describe la suma de cuadrados asociada.

${displaystyle gl_{hbox{Total}}=gl_{hbox{Error}}+gl_{hbox{Factores}}}$

El modelo de efectos fijos de análisis de la varianza se aplica a situaciones en las que el experimentador ha sometido al grupo o material analizado a varios factores, cada uno de los cuales le afecta sólo a la media, permaneciendo la "variable respuesta" con una distribución normal.

Este modelo se supone cuando el investigador se interesa únicamente por los niveles del factor presentes en el experimento, por lo que cualquier variación observada en las puntuaciones se deberá al error experimental.

Los modelos de efectos aleatorios se usan para describir situaciones en que ocurren diferencias incomparables en el material o grupo experimental. El ejemplo más simple es el de estimar la media desconocida de una población compuesta de individuos diferentes y en el que esas diferencias se mezclan con los errores del instrumento de medición.

Este modelo se supone cuando el investigador está interesado en una población de niveles, teóricamente infinitos, del factor de estudio, de los que únicamente una muestra al azar (t niveles) están presentes en el experimento.

Los grados de libertad pueden descomponerse al igual que la suma de cuadrados. Así, GLtotal = GLentre + GLdentro. Los GLentre se calculan como: a - 1, donde a es el número de tratamientos o niveles del factor. Los GLdentro se calculan como N - a, donde N es el número total de observaciones o valores de la variable medida (la variable respuesta).

El análisis de varianza lleva a la realización de pruebas de significación estadística, usando la denominada distribución F de Snedecor.

Una vez que se han calculado las sumas de cuadrados, las medias cuadráticas, los grados de libertad y la F, se procede a elaborar una tabla que reúna la información, denominada "Tabla de Análisis de varianza o ANOVA", que adopta la siguiente forma: