Distribución F

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución F, también conocida como distribución de Fisher-Snedecor (nombrada por Ronald Fisher y George Snedecor), es una distribución de probabilidad continua, aparece frecuentemente como la distribución nula de una prueba estadística, especialmente en el análisis de varianza.

Sea ${displaystyle X}$ una variable aleatoria continua y sean ${displaystyle m,nin mathbb {Z} }$, se dice que la variable aleatoria ${displaystyle X}$ tiene una distribución ${displaystyle F}$ con ${displaystyle m}$ y ${displaystyle n}$ grados de libertad y escribimos ${displaystyle Xsim F_{m,n}}$ si su función de densidad está dada por

para ${displaystyle x>0}$.

La expresión anterior también suele escribirse como

donde ${displaystyle operatorname {B} }$ es la función beta.

Si ${displaystyle Xsim F_{m,n}}$ entonces la variable aleatoria ${displaystyle X}$ satisface algunas propiedades:

La media de ${displaystyle X}$ es

para ${displaystyle n>2}$.

La varianza de ${displaystyle X}$ está dada por

para ${displaystyle n>4}$.

Sean ${displaystyle U}$ y ${displaystyle V}$ variables aleatorias independientes tales que ${displaystyle Usim chi _{m}^{2}}$ y ${displaystyle Vsim chi _{n}^{2}}$, esto es ${displaystyle U}$ y ${displaystyle V}$ siguen una distribución chi-cuadrado con ${displaystyle m}$ y ${displaystyle n}$ grados de libertad respectivamente entonces la variable aleatoria

donde ${displaystyle F_{m,n}}$ denota la distribución ${displaystyle F}$ con ${displaystyle m}$ y ${displaystyle n}$ grados de libertad.

Utilizaremos el teorema del cambio de variable, definimos

La función de densidad conjunta de ${displaystyle U}$ y ${displaystyle V}$ está dada por

como ${ extstyle U={frac {m}{n}}XY}$ y ${displaystyle V=Y}$ entonces el Jacobiano de la transformación está dado por

La función de densidad conjunta de ${displaystyle (X,Y)}$ está determinada por

y como la densidad marginal de ${displaystyle X}$ está dada por

entonces

que corresponde a la función de densidad de una variable aleatoria con distribución ${displaystyle F}$, por lo tanto

Sean ${displaystyle X_{1},X_{2},dots ,X_{m+1}}$ una muestra aleatoria de la distribución ${displaystyle N(mu _{x},sigma _{x}^{2})}$ y ${displaystyle Y_{1},Y_{2},dots ,Y_{n+1}}$ una muestra aleatoria de la distribución ${displaystyle N(mu _{y},sigma _{y}^{2})}$ donde ambas muestras son independientes entre sí, se tiene que

entonces

y por el teorema anterior