Biálgebra de Lie

En matemáticas, una biálgebra de Lie es un caso de biálgebra en la teoría de Lie, es decir, un conjunto con estructuras de álgebra de Lie y coálgebra de Lie compatibles.

Es una biálgebra donde la comultiplicación es antisimétrica y satisface una identidad de Jacobi dual, de forma que el espacio vectorial dual es un álgebra de Lie, al mismo tiempo que la comultiplicación es un 1-cociclo, de forma que la multiplicación y la comultiplicación son compatibles. La condición de cociclo implica que, en la práctica, se estudian únicamente clases de biálgebras que son cohomólogas a una biálgebra de Lie en un coborde.

Se conocen también como álgebras de Poisson-Hopf, y son el álgebra de Lie de un grupo de Poisson-Lie.

Las biálgebras de Lie aparecen de forma natural en el estudio de las ecuaciones de Yang-Baxter.

Un espacio vectorial ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ es una biálgebra de Lie si es un álgebra de Lie y existe también una estructura de álgebra de Lie compatible en el espacio dual ${displaystyle {mathfrak {g}}^{*}}$. De forma más precisa, la estructura de álgebra de Lie en ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ viene dada por un corchete de Lie ${displaystyle [ , ]:{mathfrak {g}}otimes {mathfrak {g}} o {mathfrak {g}}}$ y la estructura de álgebra de Lie en ${displaystyle {mathfrak {g}}^{*}}$ viene dada por un corchete de Lie ${displaystyle delta ^{*}:{mathfrak {g}}^{*}otimes {mathfrak {g}}^{*} o {mathfrak {g}}^{*}}$. Entonces, la aplicación dual de ${displaystyle delta ^{*}}$, ${displaystyle delta :{mathfrak {g}} o {mathfrak {g}}otimes {mathfrak {g}}}$ y la condición de compatibilidad es la siguiente relación de cociclos:

donde ${displaystyle operatorname {ad} _{X}Y=[X,Y]}$ es el adjunto. Nótese que esta definición es simétrica y por tanto ${displaystyle {mathfrak {g}}^{*}}$ es también una biálgebra de Lie, y se denomina biálgebra de Lie dual.

Sea ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ ${displaystyle {mathfrak {t}}subset {mathfrak {g}}}$ y asignemos las raíces positivas. Sea ${displaystyle {mathfrak {b}}_{pm }subset {mathfrak {g}}}$ ${displaystyle {mathfrak {t}}={mathfrak {b}}_{-}cap {mathfrak {b}}_{+}}$ y existe una proyección natural ${displaystyle pi :{mathfrak {b}}_{pm } o {mathfrak {t}}}$. Definimos entonces un álgebra de Lie

que es una subálgebra del producto ${displaystyle {mathfrak {b}}_{-} imes {mathfrak {b}}_{+}}$, y tiene la misma dimensión que ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Identificamos ahora ${displaystyle {mathfrak {g'}}}$ como el dual de ${displaystyle {mathfrak {g}}}$,

con ${displaystyle Yin {mathfrak {g}}}$ y ${displaystyle K}$ la forma de Killing. Esto define una estructura de biálgebra de Lie en ${displaystyle {mathfrak {g}}}$, y es el ejemplo estándar: subyace al grupo cuántico de Drinfeld-Jimbo. Nótese que ${displaystyle {mathfrak {g'}}}$${displaystyle {mathfrak {g}}}$ es semisimple.

El álgebra de Lie ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ de un grupo de Poisson-Lie G tiene una estructura natural de biálgebra de Lie. La estructura de grupo de Lie provee el corchete de Lie en ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ como es habitual, y la linealización de la estructura de Poisson en G da el corchete de Lie en ${displaystyle {mathfrak {g^{*}}}}$ (recordando que una estructura de Poisson lineal sobre un espacio vectorial es lo mismo que un corchete de Lie sobre el espacio dual). De forma más detallada, sea G un grupo de Poisson-Lie y sean ${displaystyle f_{1},f_{2}in C^{infty }(G)}$ dos funciones suaves sobre la variedad de grupo. Sea ${displaystyle xi =(df)_{e}}$ el diferencial en el elemento identidad. Claramente, ${displaystyle xi in {mathfrak {g}}^{*}}$. La estructura de Poisson en el grupo induce así un corchete en ${displaystyle {mathfrak {g}}^{*}}$, dado por

donde ${displaystyle {,}}$ es el corchete de Poisson. Dado ${displaystyle eta }$ el bivector de Poisson sobre la variedad, se define ${displaystyle eta ^{R}}$ como la traslación a derecha del bivector al elemento identidad en G. Se tiene entonces que

El coconmutador es entonces la aplicación tangente:

de manera que

es el dual del coconmutador.

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