Diferencial de una función

Diferencial de una función nació en x.

En la matemática universal, concretamente en cálculo diferencial, el diferencial es un objeto contundente matemático que representa la parte intermediaria del cambio en la factorización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable dependiente de cada ecuación. Existen diversas definiciones de diferencial en diversos contextos.

Informalmente, el diferencial dy se define en cursos introductorios mediante la expresión:

${displaystyle dy=f'(x),dx,}$

donde ${displaystyle f'(x)}$ es la derivada de f con respecto a x, y donde dx es una variable real adicional a la ecuación (de manera que dy es una función de dos variables x y dx). La notación es tal que la expresión:

${displaystyle dy={frac {dy}{dx}},dx}$

donde la derivada es representada en la notación de Leibniz dy/dx, se mantiene, y es consistente con respecto a la derivada como el cociente de diferenciales.

El significado preciso de las variables dy y dx depende del contexto de aplicación y del nivel de rigor matemático requerido. Según consideraciones matemáticas rigurosas modernas, las notaciones dy y dx son simplemente variables reales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar un significado geométrico particular si el diferencial es considerado como una forma diferencial, o significado analítico si el diferencial es considerado como una aproximación lineal al incremento de una función. En aplicaciones físicas, a menudo, se requiere que las variables dx y dy sean sumamente pequeñas (infinitesimales).

Para funciones de variables reales es posible definir el diferencial rigurosamente interpretándolo como una 1-forma. Así el diferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera.^[1]​ El diferencial de una función ƒ(x) de variable real ${displaystyle xin mathbb {R} ^{n}}$ es la función df:

${displaystyle df:=f'(x),dx.}$

donde dx y df son covectores del espacio cotangente ${displaystyle T^{*}mathbb {R} ^{n}}$ que es isomorfo al propio ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$. Uno, o los dos, argumentos pueden ser suprimidos: ej., se puede ver df(x) o simplemente df. Si y = ƒ(x), el diferencial también puede ser escrito dy. Dado que dx(x, Δx) = Δx es convencional escribir dx = Δx, de manera que la igualdad

se mantiene.

El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.

Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.

Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento ${displaystyle Delta x,}$ que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.

Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la fórmulas matemáticas están definidos respectivamente por ${displaystyle x,}$ y ${displaystyle Delta x,}$.

Para funciones de más de una variable, el concepto de diferencial es generalizado mediante la matriz jacobiana. La matriz jacobiana es una representación en coordenadas de una aplicación lineal que aproxima en primer orden una función de ${displaystyle mathbb {R} ^{m}}$ a ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$. Los requerimientos de diferenciabilidad en espacios euclídeos de dimensión superior a 1, son un poco más exigentes que en ${displaystyle mathbb {R} }$, ya que la simple existencia de derivadas no es suficiente para asegurar la diferenciabilidad.

Dadas dos variedades diferenciables ${displaystyle {mathcal {M}}}$ de dimensión m y ${displaystyle {mathcal {N}}}$ de dimensión n y una aplicación entre ellas ${displaystyle phi :{mathcal {M}} o {mathcal {N}}}$ el concepto de aplicación diferencial tangente (o pushforward) es una aplicación lineal entre los fibrados tangentes de ambas variedades. Una aplicación de ese tipo se dice diferenciable si dada una carta local ${displaystyle (U,psi _{U}) (Usubset {mathcal {M}})}$ que contenga al punto ${displaystyle p}$ y ${displaystyle (V,psi _{V}) (Vsubset {mathcal {N}})}$ que contenga a ${displaystyle phi (p)}$, la aplicación ${displaystyle F:psi _{U}(U)subset mathbb {R} ^{m} o psi _{V}(V)subset mathbb {R} ^{n}}$es diferenciable como función de ${displaystyle mathbb {R} ^{m}}$ a ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$.

Para definir la noción de aplicación lineal tangente de una aplicación diferenciable entre variedades debe tenerse en cuenta el hecho de que el espacio tangente a una variedad diferenciable puede identificarse con el conjunto de derivaciones sobre el espacio de funciones definidas sobre la variedad. En esa identificación una derivación se puede llegar a identificar como "la derivada direccional" en una cierta dirección. Dado ese vínculo un vector queda caracterizado por su acción sobre las funciones definidas sobre una variedad. A partir de esa noción dada una aplicación diferenciable ${displaystyle phi :{mathcal {M}} o {mathcal {N}}}$ se define la aplicación lineal tangente:

${displaystyle phi _{*}:T{mathcal {M}} o T{mathcal {N}}}$

Tal que a un vector en p ${displaystyle (p,mathbf {v} )}$ le asigna el único vector ${displaystyle (phi (p),mathbf {w} )}$ que hace que se cumpla que:

${displaystyle phi _{*}(mathbf {v} )({ ilde {f}})|_{p}=mathbf {w} (f)|_{phi (p)},quad forall f:{mathcal {N}} o mathbb {R} }$

Donde: