Bimomento

El bimomento es un tipo de esfuerzo interno resultante de las tensiones perpendiculares (normales) a la sección transversal asociadas al alabeo seccional de un prisma mecánico. El bimomento es muy importante en situaciones de torsión alabeada. Requiere la aparición de un alabeo seccional considerable para ser apreciable.

El bimomento resultante sobre una sección puede calcularse como integral del producto del alabeo unitario y la tensión perpendicular a una sección:

${displaystyle B_{omega }(x)=int _{A}omega (y,z)sigma _{x}(x,y,z) dydz}$

El bimomento puede considerarse un esfuerzo interno generalizado conjugado del alabeo φ (función de alabeo). Para comprobar eso puede bastar examinar la expresión de la energía de deformación para un prisma mecánico sometido a flexo-torsión:

${displaystyle e_{def}=e_{flex}+e_{tor}+e_{fl-tr};}$

Donde cada uno de los términos anteriores se expresa en términos de los desplazamientos generalizados del eje baricéntrico y las derivadas de estos desplazamientos. Es inmediato comprobar que:

${displaystyle B_{omega }={frac {partial e_{def}}{partial (dvarphi /dx)}}=0+{frac {partial e_{tor}}{partial (dvarphi /dx)}}+0=EI_{omega }{frac {dvarphi }{dx}}}$

Donde se ha usado que sólo el término de energía desacoplado de torsión viene dado por:

El bimomento puede ser calculado a partir de las solicitaciones por unidad de longitud, a partir del sistema de ecuaciones diferenciales:

${displaystyle {egin{cases}{cfrac {dvarphi }{dx}}={cfrac {B_{omega }}{EI_{omega }}}\{cfrac {dB_{omega }}{dx}}=kappa _{0}GJvarphi -phi (x;Q_{y},Q_{z},M_{x})end{cases}}}$

Donde:

Derivando la segunda de estas ecuaciones y substituyendo en ella la primera relación se llega a una ecuación de segundo orden para el bimomento:

${displaystyle {frac {d^{2}B_{omega }}{dx^{2}}}-kappa _{0}{frac {GJ}{EI_{omega }}}B_{omega }=-{frac {dphi }{dx}}}$

Donde la función ${displaystyle phi (x);}$ que aparece en el sistema anterior viene dada por:

${displaystyle {egin{cases}phi (x)=(1-kappa _{0})(z_{C}Q_{y}-y_{C}Q_{z}-M_{x})-M_{x}-b_{omega }\{cfrac {dphi }{dx}}=(1-kappa _{0})(-z_{C}q_{y}+y_{C}q_{z}-m_{x})-m_{x}-{cfrac {db_{omega }}{dx}}end{cases}}}$

Donde (y_C, z_C) son las coordenadas del centro de cortante y q_y, q_z, m_x y b_ω son esfuerzos por unidad de longitud que se pueden expresar a partir de la integral sobre el perímetro de la sección de las cargas superficiales que actúan sobre el prisma mecánico:

${displaystyle {egin{cases}q_{y}(x)=int _{P}f_{y}(x,{ar {s}})d{ar {s}}&qquad m_{x}(x)=int _{P}[-(z-z_{C})f_{y}+(y-y_{C})f_{z}]d{ar {s}}\q_{z}(x)=int _{P}f_{z}(x,{ar {s}})d{ar {s}}&qquad b_{omega }(x)=int _{P}omega f_{x}(x,{ar {s}})d{ar {s}}end{cases}}}$

Si no hay fuerzas de superficie en la dirección del eje baricéntrico (f_x = 0) ni momentos torsores distribuidos y además el centro de cortante coincide con el baricentro, tal como sucede en un buen número de casos prácticos, entonces ${displaystyle phi (x)=cte.;}$ y la ecuación diferencial para el bimomento resulta ser una ecuación diferencial homogénea de muy sencilla resolución.

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