Torsión mecánica

En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas.

La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él (ver torsión geométrica).

El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos:

El alabeo de la sección complica el cálculo de tensiones y deformaciones, y hace que el momento torsor pueda descomponerse en una parte asociada a torsión alabeada y una parte asociada a la llamada torsión de Saint-Venant. En función de la forma de la sección y la forma del alabeo, pueden usarse diversas aproximaciones más simples que el caso general.

¿Cuáles son los materiales de Torsión?

En el caso general se puede demostrar que el giro relativo de una sección no es constante y no coincide tampoco con la función de alabeo unitario. A partir del caso general, y definiendo la esbeltez torsional como:

${displaystyle lambda _{T}approx L{sqrt {frac {GJ}{EI_{omega }}}}}$

Donde G, E son respectivamente el módulo de elasticidad transversal y el módulo elasticidad longitudinal, J, I_ω son el módulo torsional y el momento de alabeo y L es la longitud de la barra recta. Podemos clasificar los diversos casos de torsión general dentro de límites donde resulten adecuadas las teorías aproximadas expuestas a continuación. De acuerdo con Kollbruner y Basler:^[1]​

El cálculo exacto de la torsión en el caso general puede llevarse a cabo mediante métodos variacionales o usando un lagrangiano basado en la energía de deformación. El caso de la torsión alabeada mixta sólo puede ser tratado la teoría general de torsión. En cambio la torsión de Saint-Venant y la torsión alabeada puras admiten algunas simplificaciones útiles.

La teoría de la torsión de Saint-Venant es aplicable a piezas prismáticas de gran inercia torsional con cualquier forma de sección, en esta simplificación se asume que el llamado momento de alabeo es nulo, lo cual no significa que el alabeo seccional también lo sea. La teoría de torsión de Saint-Venant da buenas aproximaciones para valores ${displaystyle lambda _{T}>10}$, esto suele cumplirse en:

Para secciones no circulares y sin simetría de revolución la teoría de Sant-Venant además de un giro relativo de la sección transversal respecto al eje baricéntrico predice un alabeo seccional o curvatura de la sección transversal. La teoría de Coulomb de hecho es un caso particular en el que el alabeo es cero, y por tanto sólo existe giro.

La teoría de Coulomb es aplicable a ejes de transmisión de potencia macizos o huecos, debido a la simetría circular de la sección no pueden existir alabeos diferenciales sobre la sección. De acuerdo con la teoría de Coulomb la torsión genera una tensión cortante el cual se calcula mediante la fórmula:

${displaystyle au _{ ho }={frac {T}{J}} ho }$

Donde:

Esta ecuación se asienta en la hipótesis cinemática de Coulomb sobre como se deforma una pieza prismática con simetría de revolución, es decir, es una teoría aplicable solamente a elementos sección circular o circular hueca. Para piezas con sección de ese tipo se supone que el eje baricéntrico permanece inalterado y cualquier otra línea paralea al eje se transforma en una espiral que gira alrededor del eje baricéntrico, es decir, se admite que la deformación viene dada por unos desplazamientos del tipo:

El tensor de deformaciones para una pieza torsionada como la anterior se obtiene derivando adecuadamente las anteriores componentes del vector de desplazamiento:

A partir de estas componentes del tensor de deformaciones usando las ecuaciones de Lamé-Hooke llevan a que el tensor tensión viene dado por:

${displaystyle mathbf {T} _{tor}={frac {G}{2}}{egin{bmatrix}0&-alpha '_{x}z&+alpha '_{x}y\-alpha '_{x}z&0&0\+alpha '_{x}y&0&0end{bmatrix}}}$

Usando las ecuaciones de equivalencia se llega a la relación existente entre la función α y el momento torsor:

${displaystyle M_{tor}=int _{Sigma }(- au _{xy}z+ au _{xz}y) { ext{d}}y{ ext{d}}z={frac {alpha '_{x}G}{2}}int _{Sigma }(z^{2}+y^{2}) { ext{d}}y{ ext{d}}z,={frac {alpha '_{x}G}{2}}I_{0}}$

Donde ${displaystyle I_{0}=I_{y}+I_{z},}$, es el momento de inercia polar que es la suma de los segundos momentos de área.

Para una barra recta de sección no circular además del giro relativo aparecerá un pequeño alabeo que requiere una hipótesis cinemática más complicada. Para representar la deformación se puede tomar un sistema de ejes en el que X coincida con el eje de la viga y entonces el vector de desplazamientos de un punto de coordenadas (x, y, z) viene dado en la hipótesis cinemática de Saint-Venant por:

${displaystyle u_{x}(x,y,z)=omega (y,z){frac {{ ext{d}} heta _{x}(x)}{{ ext{d}}x}}qquad u_{y}(x,y,z)=-(z-z_{C}) heta _{x}(x)qquad u_{z}(x,y,z)=+(y-y_{C}) heta _{x}(x)}$

Donde ${displaystyle heta _{x}(x);}$ es el giro relativo de la sección (siendo su derivada constante); siendo z_C y y_C las coordenadas del centro de cortante respecto al centro de gravedad de la sección transversal y siendo ω(y, z) la función de alabeo unitario que da los desplazamientos perpendiculares a la sección y permiten conocer la forma curvada final que tendrá la sección transversal. Conviene señalar, que la teoría al postular que la derivada del giro es constante es sólo una aproximación útil para piezas de gran inercia torsional. Calculando las componentes del tensor de deformaciones a partir de las derivadas del desplazamiento se tiene que:

${displaystyle {egin{matrix}varepsilon _{xx}={cfrac {partial u_{x}}{partial x}}=omega {cfrac {{ ext{d}} heta _{x}}{{ ext{d}}x}}&&varepsilon _{xy}={cfrac {1}{2}}left[{cfrac {partial u_{x}}{partial y}}+{cfrac {partial u_{y}}{partial x}} ight]={cfrac {1}{2}}left[{cfrac {partial omega }{partial y}}-(z-z_{C}) ight]{cfrac {{ ext{d}} heta _{x}}{{ ext{d}}x}}\varepsilon _{yy}={cfrac {partial u_{y}}{partial y}}=0&&varepsilon _{xz}={cfrac {1}{2}}left[{cfrac {partial u_{x}}{partial z}}+{cfrac {partial u_{z}}{partial x}} ight]={cfrac {1}{2}}left[{cfrac {partial omega }{partial y}}+(y-y_{C}) ight]{cfrac {{ ext{d}} heta _{x}}{{ ext{d}}x}}\varepsilon _{zz}={cfrac {partial u_{z}}{partial z}}=0&&varepsilon _{yz}={cfrac {1}{2}}left[{cfrac {partial u_{y}}{partial z}}+{cfrac {partial u_{z}}{partial y}} ight]=0end{matrix}}}$

Calculando las tensiones a partir de las anteriores deformaciones e introduciéndolas en la ecuación de equilibrio elástico se llega a:

${displaystyle mathbf {T} _{tor}={egin{bmatrix}0& au _{xy}& au _{xz}\ au _{xy}&0&0\ au _{xz}&0&0end{bmatrix}}}$

Para secciones macizas de gran rigidez torsional la distribución de las tensiones asociadas a la torsión guarda una analogía mecánica con la deformación de una membrana elástica cuasiplana. Concretamente Prandtl probó en 1903 que la forma que adopta la membrana puede relacionarse con una función de tensiones cuyas derivadas dan las tensiones tangenciales en cada dirección.^[2]​ Dicho de otra manera la pendiente de una membrana de Prandtl deformada coinciden con las tensiones tangenciales de torsión de un prisma mecánico cuya sección transversal tenga precisamente la misma forma que la membrana.

En ese caso para una sección simplemente conexa ${displaystyle Omega subset mathbb {R} ^{2}}$ (es decir, maciza), el problema de la torsión puede plantearse en términos de la función de tensiones de Prandtl que viene definida por:

${displaystyle {egin{cases}Delta Phi =0&mathrm {en} Omega \Phi =0&mathrm {en} partial Omega end{cases}}}$

Y en términos de estas las tensiones vienen dadas por:

${displaystyle {egin{cases} au _{xz}=+{cfrac {M_{T}}{k}}{cfrac {partial Phi }{partial y}}\ au _{xy}=-{cfrac {M_{T}}{k}}{cfrac {partial Phi }{partial z}}end{cases}},qquad k:=2int _{Omega }Phi dA=int _{Omega }|{oldsymbol { abla }}Phi |^{2} dA}$

En este caso las tensiones tangenciales pueden considerarse aproximadamente constantes sobre una línea paralela al espesor de la pieza, es decir, perpendicular al contorno exterior de la pieza. La tensión tangencial en este caso puede expresarse mediante:

${displaystyle au (s)={frac {M_{x}}{2e(s)A_{m}}}}$

Donde:

Mientras que el giro:

${displaystyle heta ={frac {M_{x}}{GJ}}={frac {M_{x}}{4GA_{m}^{2}}}int _{L_{Gamma }}{frac {{ ext{d}}s}{e(s)}}}$

En caso de que el espesor sea e(s) = e₀constante esta última ecuación se reduce a:

${displaystyle heta ={frac {L_{Gamma }}{4GA_{m}^{2}e_{0}}}M_{x}}$

Para piezas de muy escasa inercia torsional, como las piezas de pared delgada abierta, puede construirse un conjunto de ecuaciones muy simples en la que casi toda la resistencia a la torsión se debe a las tensiones cortantes inducidas por el alabeo de la sección. En la teoría de torsión alabeada pura se usa la aproximación de que el momento de alabeo coincide con el momento torsor total. Esta teoría se aplica especialmente a piezas de pared delgada abierta, donde no aparecen esfuerzos de membrana.

Para un rectángulo muy alargado (b << a) la tensión tangencial máxima y el giro pueden aproximarse por:

${displaystyle au _{max}={frac {M_{x}}{{frac {1}{3}}ab^{2}}}qquad heta ={frac {M_{x}L}{Gleft({frac {1}{3}}ab^{3} ight)}}}$

Para una perfil I o perfil H que puede ser aproximado uniendo rectángulos de dimensiones ${displaystyle (a_{i},b_{i})}$ (dos alas rectangualres alargadas y un alma rectangular alargada) las expresiones anteriores se pueden generalizar a:

${displaystyle au _{i,max}leq {frac {M_{x}b_{i}}{{frac {1}{3}}sum _{i}a_{i}b_{i}^{3}}}qquad heta leq {frac {M_{x}}{Gleft({frac {1}{3}}sum _{i}a_{i}b_{i}^{3} ight)}}}$

Donde τ_i,max es la tensión tangencial máxima sobre el rectángulo i-ésimo, b_i es el espesor (ancho) de dicho rectángulo y a_i su largo.

En el dominio de torsión de Saint-Venant dominante y de torsión alabeada dominante, pueden emplearse con cierto grado de aproximación la teoría de Sant-Venant y la teoría de torsión alabeada. Sin embargo en el dominio central de torsión extrema, se cometen errores importantes y es necesario usar la teoría general más complicada.

${displaystyle mathbf {T} _{tor}={egin{bmatrix}sigma _{xx}& au _{xy}& au _{xz}\ au _{xy}&0&0\ au _{xz}&0&0end{bmatrix}}qquad {egin{cases}sigma _{xx}=omega {cfrac {B_{omega }}{I_{omega }}}\ au _{xy}=-{cfrac {1-kappa _{0}}{kappa _{0}}}left[{cfrac {partial omega }{partial y}}+z_{C} ight]{cfrac {M_{omega }}{J}}+left[{cfrac {partial omega }{partial y}}-(z-z_{C}) ight]{cfrac {M_{x}-M_{omega }}{J}}\ au _{xz}=-{cfrac {1-kappa _{0}}{kappa _{0}}}left[{cfrac {partial omega }{partial y}}-y_{C} ight]{cfrac {M_{omega }}{J}}+left[{cfrac {partial omega }{partial y}}+(y-y_{C}) ight]{cfrac {M_{x}-M_{omega }}{J}}end{cases}}}$

Donde las magnitudes geométricas ${displaystyle I_{omega },J;}$ son respectivamente el segundo momento de alabeo y el módulo de torsión y los "esfuerzos" ${displaystyle B_{omega },M_{omega };}$ se denominan bimomento y momento de alabeo, todos ellos definidos para prismas mecánicos.

Para una pieza de sección circular de radio R sometida a un momento torsor M_T la tensión tangencial máxima viene dada por:

${displaystyle au _{mathrm {circ} }={frac {2}{pi }}{frac {M_{T}}{R^{3}}}}$

Para un triángulo equilátero y un cuadrado las tensiones máximas debidas a la torisón se dan sobre la mitad de uno de sus lados y vienen dadas por:

${displaystyle au _{mathrm {tria} }={frac {5{sqrt {3}}}{18}}{frac {M_{T}}{L^{3}}}approx 0,481{frac {M_{T}}{L^{3}}},qquad au _{mathrm {cuad} }approx 4,80{frac {M_{T}}{L^{3}}}}$

donde L es lado del triángulo o el cuadrado. Para una sección general simplemente conexa de gran rigidez torisonal sometida a torsión de Saint-Venant, y por tanto para cual sea válida la analogía de la membrana de Prandtl puede probarse que la tensión tangencial máxima debida a la torsión viene acotada de la manera siguiente:^[3]​

${displaystyle au leq {frac {2(2-kappa ho )}{pi }}{frac {M_{T}}{ ho ^{3}}}}$

donde:

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