Complejo simplicial

En la matemática, un complejo simplicial es un tipo particular de espacio topológico construido mediante el pegado de puntos, segmentos de línea, triángulos, tetraedros y demás análogos de dimensiones superiores. Este concepto no debe ser confundido con la noción abstracta de conjunto simplicial que surge en la moderna teoría simplicial homotópica

Sean ${displaystyle p_{0},ldots ,p_{k}in mathbb {R} ^{n}}$ con ${displaystyle kgeq 1}$ que están en posición general, la clausura convexa del conjunto ${displaystyle {p_{0},ldots ,p_{k}}}$ se llama k-simplejo de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ y se denota ${displaystyle langle p_{0},ldots ,p_{k} angle }$. Se prueba sin dificultad que:

con ${displaystyle sum _{i=0}^{k}lambda _{i}=1}$ y ${displaystyle lambda _{i}geq 0}$ para todas las i.

Los ${displaystyle lambda _{i},}$ de la representación anterior se llaman coordenadas baricéntricas del punto ${displaystyle a,}$. Si tomamos ${displaystyle {p_{i_{1}},ldots ,p_{i_{r}}}subseteq {p_{0},ldots ,p_{k}}}$, se dice que el r-simplejo ${displaystyle langle p_{i_{1}},cdots ,p_{i_{r}} angle }$ es una cara de ${displaystyle langle p_{0},cdots ,p_{k} angle }$.

Observe que un 0-simplejo es un punto, un 1-simplejo es un segmento, un 2-simplejo es un triángulo y un 3-simplejo es un tetraedro.

Un complejo simplicial (finito) es un conjunto finito de simplejos ${displaystyle K,}$ de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ que cumple las dos condiciones siguientes: