El razonamiento diagramático (también llamado razonamiento gráfico o conceptografía) es el que se lleva adelante haciendo uso de representaciones visuales de los conceptos. En esta técnica, los diagramas y los gráficos son más importantes que las palabras y las expresiones matemáticas.
El origen de esta forma de razonamiento debe buscarse en los grafos de Llull y Leibniz, las líneas de Leibniz y los diagramas de Euler. Sin embargo, una expresión equivalente a "razonamiento diagramático" —aunque aplicada específicamente a una notación de dos dimensiones— recién aparece en 1879 con la publicación del libro Begriffsschrift de Gottlob Frege, que ha sido traducido al castellano como Conceptografía. La historia del razonamiento diagramático incluye también la creación por parte de Peirce del sistema de gráficos existenciales, una notación geométrica-topológica-lógica que Gardner consideraba "el más ambicioso sistema de lógica geométrica que se haya construido jamás". Shin hizo luego una extensión de esos gráficos hasta convertirlos en una herramienta equivalente a la técnica clásica de operación con predicados monádicos de primer orden. En la tradición de considerar a la lógica como "lenguaje universal" trabajaron Leibniz, Frege, Russell, Wittgenstein, Carnap, Quine, Strawson y, más recientemente, Luetich. Se ha mostrado que el lenguaje de diagramas y gráficos permite establecer relaciones de largo alcance: por ejemplo, entre las matemáticas, la ontología, la dialéctica, la lógica, la semiología y la fenomenología.
La characteristica universalis es el lenguaje formal universal que Leibniz imaginó para expresar conceptos matemáticos, científicos y filosóficos. En su vasta obra, Leibniz formuló el lenguaje universal de varias maneras, un resumen de las cuales se encuentra en la serie de artículos editados por G. H. R. Parkinson.
El objetivo de Leibniz era usar ese lenguaje en un sistema de cálculo lógico universal de tipo computacional, el calculus ratiocinator. En palabras del propio Leibniz, con un sistema tal, «de surgir controversias, dos filósofos no tendrían que discutir más que dos matemáticos. Sería suficiente que tomaran papel y lápiz, se sentaran y dijeran: ‹¡Calculemos!›». De ahí que Russell haya traducido la expresión latina characteristica universalis como "matemática universal".
En resumen, la propuesta de Leibniz era: encontrar un lenguaje que permita aplicar reglas de inferencia a conceptos matemáticos y no matemáticos.
El lenguaje tiene sus reglas de construcción, llamadas reglas sintácticas. Las demostraciones son hechas respetando reglas que establecen la dirección del razonamiento, las reglas semánticas.
Muchos pensadores retomaron esta idea de Leibniz. Frege, por ejemplo, introdujo la Conceptografía como un calculus ratiocinator con su lingua characteristica, y —según Kluge— esa obra estuvo conscientemente inspirada en las ideas de Leibniz. Otros pensadores, en cambio, no la mencionaron. Tal es el caso de Peirce, quien creía que todo razonamiento era, en última instancia, diagramático.
El genio de Leibniz fue reconocido por Grassmann cuando, en la introducción a su Análisis Geométrico, dejó escrito que ideas como la de la characteristica ponían al filósofo por encima de otros pensadores de su tiempo. Sobre este punto volvió mucho después Heath. Norbert Wiener veía en la máquina de Leibniz un antecedente de las computadoras actuales.
Los diagramas constituyen el lenguaje de este tipo de razonamiento. También son usados los grafos, que establecen conexiones y en muchos aspectos son equivalentes a los diagramas.
El sistema universal de Leibniz tenía dos componentes: un lenguaje (characteristica) y un método (calculus). Ambos eran inseparables al punto que sus nombres son usados muchas veces como sinónimos. Este hecho se puede interpretar de dos maneras:
Adoptando el segundo punto de vista, los diagramas pueden ser clasificados en ontológicos (los de Euler, los de Venn de conjuntos y los totales), topológicos (los diagramas de Peirce extendidos, los de Shin y los diagramas con arañas) o lógicos (los de Venn de enunciados y los diagramas "alfa" y "beta" de Peirce).
Son los diagramas que muestran entes ("elementos") y las definiciones que a ellos se les ha aplicado ("conjuntos").
En los primitivos diagramas de Leibniz los conjuntos eran representados con líneas continuas. Las mismas se superponían en las intersecciones (indicadas con segmentos discontinuos).
Leibniz también usó círculos, pero encontró que en ciertos casos estos requerían signos suplementarios. Las líneas de Leibniz constituyen una muestra de la lingua characteristica.
En los diagramas de Euler (a veces llamados "círculos de Euler"), se muestran las líneas de definición de los conjuntos y cada región (de elementos propios o de superposición) contiene al menos un elemento.
Cuando no hay elementos que respondan a cierta combinación de definiciones, la región no se representa.
Los diagramas de Euler hicieron de puente entre los primitivos diagramas de Leibniz y los diagramas de Venn, ampliamente usados hoy.
Los diagramas de Venn de conjuntos muestran todas las regiones posibles (en este caso, 7, dos de ellas sombreadas por estar vacías) más la región de los elementos que no responden a ninguna definición (totalizando 8).
El rectángulo del diagrama de Venn representa el conjunto de los elementos tomados en cuenta (conjunto universal, U). Venn nunca representó al universal en sus trabajos, pero fue quien introdujo la expresión "universo del discurso".
Los diagramas totales de dos dimensiones muestran los elementos definidos, los que no responden a ninguna definición y algunos de los que no han sido considerados.
En el diagrama total en dos dimensiones se representa la región de las definiciones, el "cosmos" (blanca), y la de lo no definido, el "caos" (gris); ambas constituyen el Todo. El diagrama total permite resolver de manera elegante el problema que Humpty Dumpy le planteó a Alicia en la obra A través del espejo de Lewis Carroll. Este problema no es tan sencillo como lo hace parecer el formato de cuento infantil elegido por el autor porque plantea a un mismo tiempo el dilema matemático "ser A-ser no A" y la cuestión filosófica "mostrarse-ocultarse".
Son los diagramas que muestran la posición relativa de los conjuntos, pero no los elementos. La forma, el tamaño y la posición de las líneas cerradas no tienen importancia.
En los diagramas de conjuntos de Euler y de Venn se pone énfasis en indicar las regiones posibles. En los diagramas de Euler, solamente son representadas las regiones en las que puede haber elementos. En los diagramas de Venn, a las regiones que no contienen elementos se las anula sombreándolas.
En estos ejemplos se muestra que no hay elementos que pertenezcan a A y C que no sean también de B, ni tampoco elementos que pertenezcan exclusivamente a C. En el diagrama de Venn de conjuntos cada región sombreada es —para usar una expresión de Leibniz— una combinatio impossibilis. Se trata entonces de diagramas topológicos.
En un intento por flexibilizar la topología de los sistemas, Peirce introdujo en los diagramas de Venn la notación lógica correspondiente a la disyunción. Con ello creó los diagramas de topología flexible. A esta extensión de Peirce siguieron otras dos (Venn-I y Venn-II), propuestas por Shin.
La extensión de Peirce de los diagramas de Euler-Venn introduce tres símbolos:
Así, por ejemplo, el siguiente diagrama representa la proposición: «Todo elemento de B es de A o algunos elementos de B son de A».
Esta proposición topológica no se podría representar con un diagrama de Euler: sería necesario usar dos y buscar alguna manera de indicar la disyunción.
Las ventajas de la notación de Peirce, en este caso, son grandes. Sin embargo, cuando las proposiciones son más complejas, la lectura del diagrama se torna dificultosa.
Esta extensión tiene las siguientes características:
En estos diagramas (equivalentes), las dos premisas son:
La conclusión, por lo tanto, es: «Algún elemento pertenece simultáneamente a B y A».
Esta extensión tiene las mismas características que el anterior, pero agrega la posibilidad de conectar dos diagramas —que en este caso tienen representado el conjunto universal— con una línea de disyunción.
La proposición, en este caso, es: «O todo elemento de A es elemento de B y algún elemento de A es de B, o ningún elemento de A es de B y algún elemento de B no es de A». El diagrama simple de Peirce es de lectura más difícil que el correspondiente diagrama doble de Shin.
Los diagramas con arañas son una extensión de los diagramas de Euler, y por lo tanto en ellos hay información topológica. Se los obtiene introduciendo restricciones de dos tipos: agregando "arañas" (secuencias x de Peirce generalizadas) y sombreando regiones. La presencia de una araña indica la existencia de un elemento en su "hábitat" (la región donde se encuentra). Una región sombreada es la que no contiene más elementos que los que indican las arañas correspondientes. Si una región sombreada no tiene arañas, está vacía. Dos arañas unidas por una línea indican la existencia de por lo menos un elemento en las regiones involucradas. El nombre "araña" se ha elegido porque en diagramas complejos muchas líneas pueden salir de cada punto, como los hilos de un nodo de una telaraña.
El diagrama de la figura indica que:
El diagrama tiene 3 líneas límite de conjuntos (definiciones), indicadas con los rótulos A, B y C, y 6 regiones, por ejemplo la región cuyo contorno es B pero que no contiene elementos ni de A ni de C. Una zonas está sombreada y contiene sólo 2 elementos. El diagrama contiene 3 arañas: 2 de un pie cuyo hábitat es la zona de los elementos de A que no pertenecen a B y 1 "articulada", en la región de los elementos que son de B pero no de A.
Son los diagramas que muestran los resultados de operaciones lógicas.
Los diagramas de Venn de enunciados muestran el resultado de una operación con enunciados (en este caso, A ∨ B) con colores, que en este caso son: verde, cuando la región corresponde al resultado; rojo, cuando no. Éste es el código del semáforo de dos colores.
En los gráficos existenciales "alfa" de Peirce (gráficos que conectan enunciados), la conjunción se representa colocando los enunciados sin solución de continuidad y la negación se representa como un "recorte" de la "hoja de enunciados" (una línea curva cerrada). En el siguiente diagrama se muestra la proposición ¬((¬A) ∧ (¬B)), equivalente a A ∨ B.
Al hacer demostraciones o cuando los diagramas son complejos, es conveniente sombrear las zonas encerradas por un número impar de recortes, como se ha hecho más abajo.
En los gráficos existenciales "beta" de Peirce (gráficos que conectan predicados), hay cuantificadores aplicados a entes, no a definiciones. A estas expresiones Peirce las llamó "de primer orden". En estos gráficos, el autor introdujo la "línea de identidad" o "línea de importación existencial" (–):
Del mismo modo que en los gráficos "alfa", las conexiones de dos predicados pueden ser hechas recurriendo a "recortes".
La notación de la columna izquierda evita que los recortes ocupen tanto espacio.
El diagrama total de tres dimensiones es una extensión de los diagramas de Venn que forma parte de la teoría del conocimiento presentada en una serie de artículos filosóficos por Juan José Luetich. Su estructura es la de un árbol con tres bifurcaciones. Las dos primeras surgieron de un análisis de la obra Sobre la Naturaleza de Parménides. La última corresponde a un diagrama de Venn de una sola definición.
De todos los entes que la mente humana puede concebir (reales, imaginarios, concretos, abstractos), el Todo, unos pocos forman parte de su universo, U. De esos entes, a su vez, sólo algunos se corresponden con una definición o concepto, A. Los entes definidos —por responder a una definición o por oponerse a ella (A o ~A)— forman parte de la región blanca, el universo o "cosmos", ya que han sido "ordenados" por la definición. Los entes no definidos existen, pero están ocultos en la región gris, forman parte del "caos", del lugar donde no hay conceptos ni orden.
Los grafos son construcciones que surgen de representar elementos y sus conexiones. La teoría de grafos, como la teoría de conjuntos, está íntimamente ligada a la topología.
Aristóteles, al fundar la lógica, puso su atención en algunos cuantificadores usados en el lenguaje natural: todo, algún, ningún, no todo. Estos pueden ser expresados usando la notación de Peirce de predicados (gráficos existenciales "beta"). El clásico "cuadrado de oposición de juicios" de Aristóteles quedaría entonces representado como se muestra en la figura.
En el grabado de la portada del libro De Arte Combinatoria de 1666, Leibniz habría dado otra muestra de su lenguaje universal. En él se representa la idea de los antiguos de que todas las cosas materiales están hechas de tierra, agua, aire y fuego, "elementos" que combinan las cualidades de: frío, húmedo, caliente y seco. Entre elementos, entre cualidades, y entre elementos y cualidades, han sido dibujadas líneas, cada una con un rótulo. Así, por ejemplo, a los nodos SICCITAS y HVMIDITAS ("sequedad" y "humedad") se los ha conectado con una línea rotulada Combinatio impossibilis ("combinación imposible"). En otros términos, de los elementos de estos dos conjuntos, el grabado muestra las conexiones, objeto de estudio de la topología. La characteristica es, en este caso, una notación topológica.El siguiente grafo es una variante del Diamante de Leibniz, que muestra la relación entre elementos y cualidades a la manera de un grafo bipartido.
Cuando dos cualidades concurren en un elemento es porque su combinación es posible. Por ejemplo, CALIDITAS y HVMIDITAS concurren en AER. Cuando dos cualidades no se encuentran en ningún elemento, su combinación es imposible. Tal es el caso de HVMIDITAS y SICCITAS. Con estos elementos y cualidades, sujetas a las restricciones mencionadas, se puede deducir la cantidad de combinaciones posibles.
El diamante de Leibniz puede ser representado sin recurrir a un grafo partido, simplemente usando cuatro conjuntos. En este caso, a menos que a los conjuntos se los dibuje como rectángulos, quedarían regiones vacías. Para indicar esa situación se puede hacer uso de un diagrama con arañas.
Estas representaciones actuales del tema que Leibniz tomó de los antiguos para ilustrar su libro de análisis combinatorio muestran lo que ha sido la historia del razonamiento diagramático, un área de trabajo en la que se ha vuelto siempre sobre los mismos complejos problemas, desde la perspectiva de especialistas en las materias más diversas.
Los árboles son unos grafos especiales con estructura jerárquica, que pueden ser usados para dar la misma información topológica que los diagramas de Euler y de Venn.
Cada árbol muestra las regiones posibles del diagrama que está a su derecha. Las primeras 2 ramas corresponden al conjunto A; las restantes 4, al conjunto B. En el diagrama de Euler, la rama de no pertenencia (∉) a A aparece de color gris, ya que no es una región posible. En consecuencia, también están de ese color las ramas derivadas. En el diagrama de Venn, dado que se define un conjunto universal, la no pertenencia a A es posible, exceptuando el caso de pertenencia (∈) simultánea a B.
La notación bidimensional de Frege permite representar las operaciones lógicas con conexiones.
Este esquema representa la disyunción lógica A ∨ B, o mejor, ¬A → B.
En su trabajo sobre los axiomas del cálculo proposicional, Frege recurría sólo a las operaciones negación e implicación.
Obsérvese que la notación de los diagramas "beta" de Peirce —con recortes abreviados o no— también es bidimensional, como se puede ver claramente en la lista de reglas de inferencia.
Las deducciones sirven son operaciones que se realizan con los diagramas o grafos para obtener resultados o conclusiones.
Las siguientes reglas permiten obtener nuevas proposiciones —en la forma de diagramas "alfa" o "beta"— a partir de proposiciones dadas.
Ejemplos de aplicación de estas reglas son: para los diagramas "alfa", la demostración del "Teorema Brillante" de Leibniz; para los diagramas "beta", la deducción silogística.
El razonamiento humano es heterogéneo, en el sentido de que involucra palabras y símbolos, pero también imágenes, diagramas y modelos. Por otra parte, para procesar esa información, el ser humano usa relaciones semánticas entre proposiciones ("similitud intuitiva") y procedimientos no deductivos (como la "abducción"). Desde áreas de trabajo diversas, han sido hechas distintas aproximaciones al "razonamiento multimodal".
En cuanto a la comparación del razonamiento simbólico con el razonamiento diagramático, se ha mostrado que no hay diferencia entre ambos en lo que a "estatus lógico" se refiere. En 1994, Shin presentó los diagramas Venn-I y Venn-II como un sistema de representación formal con su propia sintaxis y semántica. Las reglas sintácticas indican si un diagrama es aceptable, en el sentido de si está bien formado y qué transformaciones están permitidas. La semántica se ocupa de las consecuencias lógicas. Así se comprueba que los sistemas mencionados son robustos y completos, en el mismo sentido que lo son algunos sistemas lógicos simbólicos. Este resultado da por tierra con la arraigada creencia de que los sistemas de diagramas pueden llevar a deducciones erróneas y que por lo tanto hay que abstenerse de usarlos en demostraciones.
El razonamiento diagramático ha encontrado aplicación en diversas áreas de trabajo: máquinas de calcular, algoritmos de demostración de proposiciones, semiótica, ciencias de la cognición, inteligencia artificial (IA), teoría del conocimiento, filosofía del lenguaje, ontología.
Con el calculus ratiocinator, Leibniz tenía un objetivo más ambicioso que el de Pascal, ya que él no tenía en mente un dispositivo mecánico para hacer cálculos aritméticos sino una machina ratiocinatrix. El calculus ratiocinator era un algoritmo que, aplicado a una expresión simbólica escrita con la characteristica universalis, determinaría si dicha fórmula es o no verdadera. Sin embargo Leibniz —con los medios disponibles en su tiempo— sólo logró construir la máquina de calcular llamada Staffelwalze ("cilindro dentado", por la forma del dispositivo mecánico de cálculo que utiliza), conocida hoy como "Máquina de Leibniz". La computadora digital es para muchos la materialización de la machina ratiocinatrix.
La siguiente es la demostración del resultado que Leibniz llamó Praeclarum Theorema ("Teorema Brillante"): «Si A implica C y B implica D, entonces A y B implican C y D». En símbolos, la tesis es la siguiente.
La demostración se puede hacer aplicando las reglas indicadas más arriba para los diagramas "alfa" de Peirce. Para facilitar la lectura y el uso de las reglas 1 y 2, las regiones rodeadas por un número impar de recortes aparecen de color gris; las regiones rodeadas por un número par de recortes o por ningún recorte están en blanco.
Aquí se ha aplicado primero la regla de doble recorte (4) a la hoja de enunciados en blanco. Luego han sido insertadas dos expresiones en la región gris (regla 1). Luego han sido aplicadas sucesivamente las reglas de: iteración (2), inserción (1), iteración (2) y desiteración (2). Por último, eliminando un doble recorte (regla 4), se llegó al diagrama correspondiente a la tesis del teorema.
La siguiente deducción se hace aplicando las reglas correspondientes a los diagramas "beta" de Peirce.
La conclusión es entonces: «Todo A es C».
Usando la notación de recortes completos, la misma deducción quedaría representada como sigue.
Las deducciones de los dos puntos anteriores son una serie de figuras que, mostradas una a continuación de otra, constituyen animaciones. Dau las llama "animaciones del pensamiento". En efecto, son una representación abstracta de los procesos mentales que conducen a una conclusión. Si bien la interpretación de estas animaciones requiere el conocimiento de las convenciones de Peirce, también es cierto que un ser inteligente podría descubrir las reglas a partir de la observación de varias secuencias.
Nakatsu mostró cómo el uso de diagramas ha facilitado el diseño de sistemas de inteligencia artificial del tipo interfaz de usuario para tareas de toma de decisión y resolución de problemas. En estas interfaces los diagramas facilitan la interacción de los operadores con las cada vez más complejas tecnologías de la información. En particular, permiten comprender y visualizar sistemas de IA. Con el razonamiento diagramático es posible programar usando técnicas que emulan el pensamiento humano y la capacidad de resolución de problemas. Entre estas técnicas, cabe mencionar:
que han encontrado aplicaciones en las ciencias físicas, la medicina, la macroeconomía, las finanzas y la logística.
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