Constante de Euler-Mascheroni

La constante de Euler-Mascheroni (también conocida como constante de Euler) es una constante matemática que aparece principalmente en teoría de números y se denota con la letra griega minúscula gamma ${displaystyle (gamma )}$.

Está definido como el límite de la diferencia entre la serie armónica y el logaritmo natural

donde ${displaystyle lfloor x floor }$ denota la función parte entera.

Su valor aproximado es

No debe confundirse con el número e, también llamado número de Euler.

La constante apareció por primera vez, en 1734, en un artículo escrito por el matemático suizo Leonhard Euler, llamado De Progressionibus harmonicis observationes, calculando los 6 primeros dígitos para la constante y llamándola C. En 1781 calcularía otros 10 decimales más. En 1790, Lorenzo Mascheroni calcularía los primeros 19 decimales y la denotaría como A. Ya más tarde se denotaría de la forma moderna como γ, debido a su conexión con la función gamma.^[1]​

El número ${displaystyle gamma }$ no se ha probado que sea algebraico o transcendente, de hecho, ni siquiera se conoce si ${displaystyle gamma }$ es irracional o no.^[2]​ El análisis de fracciones continuas revela, que de ser racional, su denominador debe ser muy elevado (actualmente del orden de 10²⁴²⁰⁸⁰).^[3]​ Debido a que está presente en un gran número de ecuaciones y relaciones, la racionalidad o irracionalidad de γ está entre los problemas abiertos más importantes de matemáticas.

A continuación se exponen las más importantes relaciones de γ con funciones, series e integrales.

Descubierta en 1734 por Euler, representándola como una serie infinita de la siguiente forma:

${displaystyle gamma }$ está relacionada con la función digamma ${displaystyle Psi }$ y por lo tanto con la derivada de la función gamma ${displaystyle Gamma }$, cuando ambas funciones están evaluadas en ${displaystyle 1}$, esto es

y esto es igual al límite:

otros límites son

Un límite relacionado con la función beta (expresada en términos de la función gamma) es:

y como función beta:

${displaystyle gamma }$ también puede ser expresada como suma infinita, cuyos términos invocan la función zeta de Riemann evaluada en números positivos:

Otras series relacionadas con la función zeta son:

El término error de la última serie decrece exponencialmente en función de n. Como resultado, la fórmula resulta muy eficiente para calcular grandes cantidades de dígitos de la constante con gran precisión.

Otro interesantes límites relacionado con la constante de Euler-Mascheroni y la función zeta es el límite antisimétrico (Sondow, 1998)

y

${displaystyle gamma }$ es igual al valor de un número determinado de integrales definidas:

Entre las integrales definidas en las cuales aparece ${displaystyle gamma }$ se incluyen

Uno puede expresar a ${displaystyle gamma }$ como una integral doble (Sondow 2003, 2005), con su serie equivalente es:

Aparte de la serie original de Euler (mostrada arriba), se conocen otras series entre las que se incluyen:

encontrada por Nielsen en 1897. En 1912 Vacca encontró la siguiente serie relacionada con γ.

donde log₂ es el logaritmo en base 2 y ${displaystyle leftlfloor , ight floor }$ la función parte entera.

En 1926, Vacca encontró otra serie similar a la anterior:

o escrito como

Estas dos últimas series pueden ser obtenidas mediante la manipulación de la Integral de Catalán (ver Sondow y Zudilin)

La representación en forma de fracción continua es:

más concretamente

${displaystyle gamma }$ es igual a las siguientes fórmulas asintóticas (donde H_n es el n-ésimo número armónico)

(Euler)

(Negoi)

(Cesàro)

La última fórmula también es llamada Expansión de Ramanujan.

La constante e^γ es importante en teoría de números. Algunos autores la denotan simplemente como γ'. e^γ es igual al siguiente límite, donde p_n es el n-ésimo número primo:

También se puede expresar como un producto infinito, usando funciones hipergeométricas como sigue:

Su valor numérico aproximado es

Las constantes generalizadas de Euler están dadas por

para 0 < α < 1, con γ como caso especial cuando α = 1.^[4]​ Esto puede ser más generalizado por

para una determinada función f decreciente, por ejemplo

dando lugar a las constantes de Stieltjes, y

dadas por

donde de nuevo el límite

aparece.

La constante de Euler-Mascheroni aparece en los siguientes casos (la mayoría en teoría de números):

Para más información en este sentido, ver Gourdon and Sebah (2004).

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