Logaritmo natural

El logaritmo natural suele ser conocido como logaritmo neperiano, aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo neperiano.

En matemáticas, se denomina logaritmo natural al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es ${displaystyle 2.718281828459}$. El logaritmo natural suele denotarse por ${displaystyle ln(x)}$ o como ${displaystyle log _{e}(x)}$ y en algunos casos, si la base ${displaystyle e}$ está implícita entonces como ${displaystyle log(x)}$.

El logaritmo natural de un número ${displaystyle x}$ es entonces la potencia a la cual el número ${displaystyle e}$ debe ser elevado para ser igual a ${displaystyle x}$. Por ejemplo, ${displaystyle ln(7.5)}$ es ${displaystyle 2.0149dots }$ pues ${displaystyle e^{2.0149dots }=7.5}$. El logaritmo natural de ${displaystyle e}$ es ${displaystyle 1}$ pues ${displaystyle e^{1}=e}$ mientras que el logaritmo natural de ${displaystyle 1}$ es ${displaystyle 0}$ pues ${displaystyle e^{0}=1}$.

Desde el punto de vista analítico, el logaritmo natural puede definirse para cualquier número real positivo ${displaystyle a>0}$ como el área bajo la curva ${displaystyle y=1/x}$ entre las rectas ${displaystyle x=1}$ y ${displaystyle x=a}$. La sencillez de esta definición es la que justifica la denominación de «natural» para el logaritmo con esta base concreta.^[2]​ Esta definición puede extenderse a los números complejos.

El logaritmo natural es una función real con dominio de definición los números reales positivos:

y corresponde a la función inversa de la función exponencial natural:

La función inversa del logaritmo natural es la función exponencial.

La primera mención del logaritmo natural fue dada por Nikolaus Mercator en su trabajo Logarithmotechnia publicado en 1668,^[1]​ a pesar de que el profesor de matemáticas John Speidell que ya lo había hecho en 1619 recopilando una tabla sobre valores del logaritmo natural.^[3]​ Fue llamado formalmente como logaritmo hiperbólico,^[4]​ puesto que sus valores correspondían con los del área hallada bajo la hipérbola. A veces también se refiere al logaritmo neperiano, a pesar de que el significado original de este término es ligeramente diferente.

Inicialmente, y desde que el sistema decimal se volvió el sistema de numeración más común, podría parecer que la base 10 fuese más «natural» que la base e. Pero matemáticamente, el número 10 no es particularmente significativo. Su uso cultural —como base numérica para muchas sociedades— probablemente surge del típico número de dedos humanos.^[5]​ Otras culturas basaron sus sistemas de numeración eligiendo diversas bases como 5, 8, 12, 20, y 60.^[6]​^[7]​^[8]​

log_e es el logaritmo «natural» porque automáticamente surge, y aparece más comúnmente, en matemáticas. Por ejemplo, consideremos el problema de derivar una función logarítmica:^[9]​

Si la base ${displaystyle b}$ es igual a ${displaystyle e}$, entonces la derivada es simplemente ${displaystyle 1/x}$, y en ${displaystyle x=1}$ esta derivada es igual a 1. Otra razón por la cual el logaritmo de base -e- es el más natural es que puede ser definido muy fácilmente en términos de una integral o por series de Taylor y esto no sería tan sencillo si el logaritmo fuera de otra base.

Sentidos adicionales de esta naturalidad no hacen uso del cálculo. Como ejemplo, tenemos un número de series simples relacionadas con el logaritmo natural. Además de que Pietro Mengoli y Nicholas Mercator lo llamaron logarithmus naturalis unas décadas antes de que Newton y Leibniz desarrollaran el cálculo.^[10]​

El logaritmo natural puede ser definido de distintas formas, todas equivalentes. El logaritmo natural ${displaystyle ln(x)}$ para valores ${displaystyle x>0}$ puede ser definido como el área bajo la gráfica de ${displaystyle f(t)=1/t}$ entre las rectas ${displaystyle t=1}$ y ${displaystyle t=x}$, esta es la integral

Si ${displaystyle x<1}$ entonces esta área es negativa.

El número ${displaystyle e}$ puede ser definido como el único número real ${displaystyle x}$ para el cual ${displaystyle ln(x)=1}$.

Mediante la definición logaritmo pueden demostrarse las siguientes propiedades:

Para ${displaystyle x,y>0}$ entonces

Por definición

esta integral puede descomponer como

Realizando el cambio de variable ${displaystyle s=t/x}$ en la segunda integral se obtiene:

Para ${displaystyle x>0}$ y ${displaystyle nin mathbb {N} }$ puede demostrarse por inducción que

Si ${displaystyle x,y>0}$ entonces

como

entonces se sigue que

Aparte de las propiedades generales, se destacan las siguientes:

La derivada del logaritmo natural viene dada por

Si el logaritmo natural está definido como

entonces la derivada de ${displaystyle ln(x)}$ se sigue como consecuencia del primer Teorema Fundamental del Cálculo.

Si el logaritmo natural está definido como la inversa de la función exponencial entonces la derivada (para ${displaystyle x>0}$) puede calcularse utilizando las propiedades de los logaritmos y por una definición de la función exponencial.

Por definición

considerando ${displaystyle u=hxLeftrightarrow h=u/x}$ entonces

entonces la derivada puede hallarse por definición

Si ${displaystyle |x-1|leq 1}$ y ${displaystyle x eq 0}$ entonces

que corresponde a la serie de Taylor de ${displaystyle ln(x)}$ alrededor de ${displaystyle 1}$.

Haciendo un cambio de variable se obtiene

para ${displaystyle |x|leq 1}$ y ${displaystyle x eq 1}$, a esta serie se le conoce como serie de Mercator.

Utilizando la identidad funcional

y sustituyendo ${displaystyle {frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}}$ en la serie de Taylor del arcotangente hiperbólico se obtiene la siguiente serie, cuya convergencia es más rápida que la anterior y es válida para valores positivos de x:

Aplicando una trasformación binomial a la serie de Taylor se obtiene esta segunda serie, válida para valores x con valor absoluto mayor que 1:

Nótese que ${displaystyle x over {x-1}}$ es su propia función inversa, con lo que para obtener el logaritmo natural de un cierto número y es suficiente con sustituir ${displaystyle y over {y-1}}$ en el lugar de x.

El logaritmo natural permite la integración sencilla de funciones de la forma ${displaystyle g(x)=f'(x)/f(x)}$: una primitiva ${displaystyle g(x)}$ viene dada por ${displaystyle ln |f(x)|}$. Esto es debido a la regla de la cadena y también a lo siguiente:

En otras palabras,

También se puede ver de esta manera,

Considere ${displaystyle g(x)= an(x)}$

Tomando ${displaystyle f(x)=cos(x)}$ y ${displaystyle f'(x)=-operatorname {sen}(x)}$ se tiene que

donde ${displaystyle Cin mathbb {R} }$ es una constante arbitraria de integración.

El logaritmo natural puede ser integrado utilizando el método de integración por partes, esto es utilizando la fórmula

Si consideramos

entonces

Para ${displaystyle ln(x)}$ donde ${displaystyle x>1}$, cuanto más cercano sea el valor de x a 1, más rápido será el ritmo de convergencia hacia el valor del logaritmo. Las propiedades asociadas con el logaritmo se pueden utilizar para acelerar la obtención del valor del logaritmo:

Históricamente, estas técnicas se utilizaron antes del uso de las calculadoras y ordenadores, incluso se hacia uso de tablas numéricas, y se realizaban artificios aritméticos como los observados arriba.

El logaritmo natural del número 10, que tiene el desarrollo numerico decimal de 2.30258509 ..., interviene de manera muy importante, por ejemplo, en el cálculo de logaritmos naturales de números representados en notación científica, números muy grandes o números muy pequeños. El número, de acuerdo a propiedades de los logaritmos, es convertido al logaritmo de un producto con un factor de multiplicación igual a un número en el rango real de: ${displaystyle 1<x<10}$, y otro factor igual a una potencia de 10:

Esto significa que se puede calcular efectivamente los logaritmos de números con magnitudes muy grande o muy pequeña, usando los logaritmos de un conjunto relativamente pequeño de decimales en el rango: ${displaystyle 1<x<10}$.

Si bien no hay fracciones continuas simples, están disponibles varias fracciones continuas generalizadas, entre las cuales incluyen:

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