Continuidad uniforme

En análisis matemático una función ${displaystyle f}$ se dice que es uniformemente continua si pequeños cambios en el valor de ${displaystyle x}$ producen pequeños cambios en el valor de la función (continuidad) y el tamaño de los cambios de ${displaystyle f(x)}$ depende solo del tamaño de los cambios en x pero no del valor de x (uniforme).

Dados dos espacios métricos ${displaystyle (X,d_{X})}$ y ${displaystyle (Y,d_{Y})}$, y ${displaystyle Msubseteq X}$ entonces una función ${displaystyle f:M o Y}$ se llama uniformemente continua en M si para cualquier número real ${displaystyle epsilon >0}$ existe ${displaystyle delta >0}$ tal que ${displaystyle d_{X}(x_{1},x_{2})<delta }$, implica que ${displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<epsilon }$ para todo ${displaystyle x_{1},x_{2}in M}$.

Una función ${displaystyle f:mathbb {R} o mathbb {R} }$ es uniformemente continua en un intervalo ${displaystyle A}$ si para todo ${displaystyle epsilon >0}$ existe algún ${displaystyle delta >0}$ tal que para todo ${displaystyle x,yin A}$ se cumple que si ${displaystyle |x-y|<delta }$, entonces ${displaystyle |f(x)-f(y)|<epsilon }$.^[1]​

A diferencia de la continuidad, donde el valor de ${displaystyle delta }$ depende del punto x, en las funciones uniformemente continuas no depende de dicho valor.

Si M es un espacio métrico compacto e Y un espacio métrico, entonces toda función continua f : M → Y es uniformemente continua. En particular, toda función continua sobre un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua en dicho intervalo (Teorema de Heine-Cantor).