Coordenadas elípticas

Las coordenadas elípticas son un sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonales en los que las líneas coordenadas son elipses confocales e hipérbolas. Los dos focos ${displaystyle F_{1}}$ y ${displaystyle F_{2}}$ están generalmente fijos en las posiciones ${displaystyle x=-a}$ y ${displaystyle x=+a}$, respectivamente, sobre el eje ${displaystyle OX}$ de un sistema cartesiano cuyos ejes son ejes de simetría de las líneas coordenadas hiperbólicas y elípticas.

Las coordenadas elípticas cilíndricas son un sistema tridimensional obtenido haciendo rotar el sistema anterior alrededor del eje de focos y añadiendo una coordenada angular polar adicional.

Para un espacio lR²
La transformación a coordenadas elípticas es un cambio en lR² que viene dado por (x,y) = Φ (r,φ) donde:^[1]​

donde a y b son constantes. Entonces:

Se puede apreciar que la transformación a elípticas no es más que la composición una transformación a polares seguida de una dilatación por un factor a según el eje x y por un factor b según el eje y. Por ello, es inyectiva en el mismo conjunto que la transformación a polares, es decir, en (0,∞) x [0,2π)

El jacobiano de la transformación es:

En un espacio lR³
Se define el sistema de coordenadas elipsoidales (x,y,z) = Φ (r,θ,φ) mediante las siguientes coordenadas de transformación:^[2]​

El volumen de un elemento en coordenadas elipsoidales equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales, y el Jacobiano es la fracción de las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas por las derivadas parciales de las coordenadas elípticas, por lo que:

Por lo tanto:

La definición más común de las coordenadas elípticas bidimensionales ${displaystyle (mu , u )}$ es:

${displaystyle {egin{cases}x=a cosh mu cos u \y=a sinh mu sin u end{cases}}}$

Donde:

En el plano complejo, existe una relación equivalente dada por:

${displaystyle x+iy=a cosh(mu +i u )}$

Estas definiciones corresponde a elipses e hipérbolas. La identidad trigonométrica:

${displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}cosh ^{2}mu }}+{frac {y^{2}}{a^{2}sinh ^{2}mu }}=cos ^{2} u +sin ^{2} u =1}$

muestra que las curvas con ${displaystyle mu ,}$ constante son elipses, mientras que las la identidad trigonométrica hiperbólica:

${displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}cos ^{2} u }}-{frac {y^{2}}{a^{2}sin ^{2} u }}=cosh ^{2}mu -sinh ^{2}mu =1}$

muestra que las curvas con ${displaystyle u ,}$ constante son hipérbolas.

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas elípticas son resolución de ecuaciones en derivadas parciales como la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz, para las que las coordenadas elípticas admiten separación de variables. Un ejemplo típico es la carga eléctrica que rodea a un conductor plano de anchura 2a. O el campo de dos cargas eléctricas puntuales del mismo signo a una distancia 2a.