Cuádrica

Una superficie cuádrica es una superficie determinada por una ecuación de la forma: ${displaystyle P(x_{1},x_{2}...x_{n})=0 }$

donde P es un polinomio de segundo grado en las coordenadas ${displaystyle x_{1},x_{2}...x_{n} }$.

Cuando no se precisa, es una superficie del espacio tridimensional real usual, en un sistema de coordenadas ortogonal y unitario, y las coordenadas se llaman x, y, z.

Fueron los matemáticos griegos de la antigüedad quienes iniciaron el estudio de las cuádricas, con el cono (una cuádrica) y sus secciones, que son las cónicas, curvas en un plano bidimensional, aunque no emplearon ecuaciones.

Una cuádrica o superficie cuádrica, es una hipersuperficie D-dimensional representada por una ecuación de segundo grado con variables (coordenadas) espaciales. Si estas coordenadas son ${displaystyle {x_{1},x_{2},...x_{D}},}$, entonces la cuádrica típica en ese espacio se define mediante la ecuación algebraica:

donde Q es una matriz cuadrada de dimensión (D), P es un vector de dimensión (D) y R es una constante. Si bien Q, P y R son por lo general reales o complejos, una cuádrica puede definirse en general sobre cualquier anillo.

La ecuación cartesiana de una superficie cuádrica es de la forma:

Por ejemplo, la ecuación:

es de segundo grado pero, también se puede escribir como:

que equivale a:

una ecuación de primer grado que corresponde a un plano, superficie que no tiene las propiedades relacionadas con el segundo grado. Generalmente, se descartan todos los polinomios de segundo grado que son cuadrados.

entonces los términos lineales para cada variable:

pueden asimilarse a los cuadráticos:

mediante el método de completar cuadrados, de modo que sea fácil interpretar la ecuación como una de las formas "normalizadas" que se presentan a continuación, pero "descentrada" o "trasladada" (no centrada en el origen, ${displaystyle (0,0,0)}$, sino en un punto de coordenadas implícitas en la nueva forma).

La ecuación normalizada de una cuádrica tridimensional (D = 3), centrada en el origen (0, 0, 0) de un espacio tridimensional, es:

Por medio de traslaciones y rotaciones cualquier cuádrica se puede transformar en una de las formas "normalizadas". En el espacio tridimensional euclídeo, existen 16 formas normalizadas; las más interesantes son las siguientes:

En el espacio proyectivo real, el elipsoide, el hiperboloide elíptico y el paraboloide elíptico son similares; los dos paraboloides hiperbólicos tampoco se diferencian entre ellos (por ser superficies regladas; el cono y el cilindro tampoco son distintos entre sí (por ser cuádricas "degeneradas"). En el espacio proyectivo complejo todas las cuádricas no degeneradas resultan indistinguibles entre ellas.