Espacio proyectivo complejo

En matemáticas, se le llama espacio proyectivo complejo al espacio de las líneas complejas de Cⁿ⁺¹ que pasan por el origen. Normalmente se nota por P(Cⁿ⁺¹), P_n(C) o CPⁿ

Constituye una variedad compleja compacta de dimensión compleja n definida identificando los puntos proporcionales de Cⁿ⁺¹-{0} mediante la siguiente relación de equivalencia:

Sea ${displaystyle pi :mathbb {C} ^{n+1}-{0} ightarrow mathbb {C} P^{n}}$ la proyección que lleva cada z en su clase de equivalencia. Dotamos a CPⁿ de la topología cociente, de modo que ${displaystyle Usubset mathbb {C} P^{n}}$es abierto si y sólo si ${displaystyle pi ^{-1}(U)}$ lo es. Esta topología convierte a la proyección en una aplicación continua.

Para ello basta observar que es imagen por una aplicación continua de la esfera real S²ⁿ⁺¹. En concreto por la composición de aplicaciones ${displaystyle pi circ i}$ dada por

Esta aplicación es sobreyectiva pues toda línea pasa por un punto de S²ⁿ⁺¹.

Podemos construir un atlas mediante las cartas ${displaystyle (U_{i},Phi _{i})}$ definidas por:

donde por ^ debemos entender que no aparece la entrada correspondiente.

Si ${displaystyle zin U_{i}cap U_{j}}$ , se comprueba que el cambio de cartas ${displaystyle (Phi _{j}circ Phi _{i}^{-1})}$ es holomorfo.

Toda inclusión del tipo C^k+1 → Cⁿ⁺¹ induce una inclusión entre los proyectivos correspondientes CP^k → CPⁿ. A la imagen de esta aplicación se le denomina subespacio lineal de CPⁿ.

Si k = n-1, a la imagen de esta aplicación se le denomina hiperplano de CPⁿ. Si k = 1, de su imagen se dice que es una línea del mismo.