Cuadrivelocidad

La cuadrivelocidad es una magnitud vectorial asociada al movimiento de una partícula, usada en el contexto de la teoría de la relatividad, que es tangente a la trayectoria de dicha partícula a través del espacio-tiempo cuatridimiensional que generaliza el concepto de velocidad de la mecánica newtoniana.

De la misma manera que la velocidad ${displaystyle mathbf {v} }$ en mecánica newtoniana es la derivada temporal de la posición respecto al tiempo, en la teoría de la relatividad la cuadrivelocidad ${displaystyle mathbf {V} }$ es la derivada temporal de las coordenadas de posición respecto al tiempo propio de la partícula:

(1)${displaystyle V^{i}={frac {dx^{i}}{d au }}}$

Dada la relación entre el tiempo coordenado y el tiempo propio el cuadrivector velocidad viene dado por:

${displaystyle mathbf {V} =(gamma c;gamma v_{x},gamma v_{y},gamma v_{z})=left({frac {c}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}};{frac {mathbf {v} }{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} ight)in mathbb {R} imes mathbb {R} ^{3}}$

Donde ${displaystyle mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$ es la velocidad newtoniana convencional y ${displaystyle gamma ,}$ es el factor de Lorentz. Es importante notar que el "módulo" de dicha velocidad, es constante debido a que:

${displaystyle |mathbf {V} |:={sqrt {-g(mathbf {V} ,mathbf {V} )}}={sqrt {-eta _{alpha eta }V^{alpha }V^{eta }}}={sqrt {-gamma ^{2}(-c^{2}+v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}}=c{sqrt {frac {1-{frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}{1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=c}$

En relatividad las cosas son bastante más complicadas, particularmente si el espacio-tiempo no es estacionario. Ya que la relación entre la velocidad coordenada y la velocidad física de una partícula es funcionalmente complicada. Si bien el "módulo" la cuadrivelocidad es igual a la constante c, la velocidad coordenada numéricamente puede superar a la velocidad de la luz (esto pasa porque la velocidad coordenada, por ejemplo, no es un tensor). La cuadrivelocidad o velocidad física puede definirse como la derivada respecto al tiempo propio:

${displaystyle V^{alpha }={frac {dx^{alpha }}{d au }}}$

donde el tiempo propio dependerá del camino L seguido por la partícula:

${displaystyle au =int _{L}left[{sqrt {-g_{00}}}dt+{cfrac {g_{0alpha }dx^{alpha }}{c{sqrt {-g_{00}}}}} ight]}$

Si el espacio tiempo es estacionario entonces existe un sistema de coordenadas donde el tensor métrico cumpla que ${displaystyle g_{0alpha }=0}$ y donde ${displaystyle g_{00}}$ no dependa de la coordenada temporal, y en ese caso puede escogerse una foliación que define un tiempo universal. Y la integral anterior es más sencilla de evaluar.

En el caso general, la cuadrivelocidad se define como:

${displaystyle mathbf {V} =left({frac {c}{sqrt {-g_{00}-langle mathbf {v} ,mathbf {v} angle }}},{frac {mathbf {v} }{sqrt {-g_{00}-langle mathbf {v} ,mathbf {v} angle }}} ight)}$

Donde ${displaystyle langle mathbf {v} ,mathbf {v} angle =kappa _{ab}v^{a}v^{b}}$ siendo ${displaystyle v^{a}}$ las componentes de la velocidad coordenada, ${displaystyle a,bin {1,2,3}}$ y ${displaystyle kappa _{ab}=g_{ab}-(g_{0a}g_{0b}/g_{00})}$.

Análogamente a lo que sucede en mecánica newtoniana, donde la cantidad de movimiento y la velocidad son dos vectores proporcionales, en mecánica relativista sus análogos el cuadrimomento y la cuadrivelocidad son dos vectores que difieren sólo en una constante de proporcionalidad, que se identifica con la masa en reposo:

${displaystyle mathbf {P} =mmathbf {V} =left({frac {E}{c}};p_{x},p_{y},p_{z} ight)=left({frac {mc}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}};{frac {mmathbf {v} }{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} ight)}$