Curva de Bézier

Se denomina curvas de Bézier a un sistema que se desarrolló hacia los años 1960 para el trazado de dibujos técnicos, en el diseño aeronáutico y en el de automóviles. Su denominación es en honor a Pierre Bézier, quien ideó un método de descripción matemática de las curvas que se comenzó a utilizar con éxito en los programas de CAD.

Las curvas de Bézier fueron publicadas por primera vez en 1962 por el ingeniero francés Pierre Bézier y posteriormente, trabajando en la Renault, las usó con abundancia en el diseño de las diferentes partes del automóvil. Las curvas fueron desarrolladas por Paul de Casteljau usando el algoritmo que lleva su nombre. Se trata de un método numéricamente estable para evaluar las curvas de Bézier.

Posteriormente, los inventores del PostScript, lenguaje que permitió el desarrollo de sistemas de impresión de alta calidad desde el ordenador, introdujeron en ese código el método de Bézier para la generación del código de las curvas y los trazados. El lenguaje PostScript sigue empleándose ampliamente y se ha convertido en un estándar de calidad universal; por ello, los programas de diseño vectorial como Adobe Illustrator, el extinto Macromedia FreeHand y Corel Draw, tres de los programas más importantes de dibujo vectorial y otros como Inkscape, denominan «bézier» a algunas de sus herramientas de dibujo, y se habla de «trazados bézier», «pluma bézier», «lápiz bézier», etc. Su facilidad de uso la ha estandarizado en el diseño gráfico, extendiéndose también a programas de animación vectorial, como Adobe Flash, y retoque fotográfico (bitmap), como Photoshop y Gimp, donde se usa para crear trazos, formas cerradas o selecciones.

La idea de definir geométricamente las formas no es demasiado compleja: un punto del plano puede definirse por coordenadas. Por ejemplo, un punto A tiene unas coordenadas (x₁, y₁) y a un punto B le corresponde (x₂,y₂). Para trazar una recta entre ambos basta con conocer su posición. Si en lugar de unir dos puntos con una recta se unen con una curva, surgen los elementos esenciales de una curva Bézier; los puntos se denominan «puntos de anclaje» o «nodos». La forma de la curva se define por unos puntos invisibles en el dibujo, denominados «puntos de control», «manejadores» o «manecillas».

Dados los puntos P₀ y P₁, una curva lineal de Bézier es una línea recta entre los dos puntos. La curva viene dada por la expresión:

Una curva cuadrática de Bézier es el camino trazado por la función B(t), dados los puntos: P₀, P₁, y P₂,

Las fuentes de letras TrueType usan curvas de Bézier desdobladas compuestas por curvas cuadráticas de Bézier.

Cuatro puntos del plano o del espacio tridimensional, P₀, P₁, P₂ y P₃ definen una curva cúbica de Bézier. La curva comienza en el punto P₀ y se dirige hacia P₁ y llega a P₃ viniendo de la dirección del punto P₂. Usualmente, no pasará ni por P₁ ni por P₂. Estos puntos solo están ahí para proporcionar información direccional. La distancia entre P₀ y P₁ determina «qué longitud» tiene la curva cuando se mueve hacia la dirección de P₂ antes de dirigirse hacia P₃.

La forma paramétrica de la curva es:

Los modernos sistemas de imágenes como PostScript, Asymptote y Metafont usan curvas de Bézier desdobladas, compuestas por curvas cúbicas de Bézier para dibujar las formas de las curvas.

La generalización pasaría a ser las curvas denominadas "Spline", es decir la curva cúbica de Bézier es un Spline de tercer grado. La curva de Bézier de grado ${displaystyle n}$ puede ser generalizada de la siguiente manera. Dados los puntos P₀, P₁,..., P_n, la curva de Bézier es del tipo:

Por ejemplo, una curva de orden cinco (${displaystyle n=5}$) quedaría como:

Esta ecuación puede ser expresada de manera recursiva como sigue: sea la expresión ${displaystyle mathbf {B} _{mathbf {P} _{0}mathbf {P} _{1}ldots mathbf {P} _{n}}}$ que denota la curva de Bézier determinada por los puntos P₀, P₁,..., P_n. Entonces

En otras palabras, el grado ${displaystyle n}$ de la curva de Bézier es una interpolación entre los dos grados ${displaystyle n-1}$ de las curvas de Bézier.

Existe una terminología asociada exclusivamente para este tipo de curvas. Se tiene:

donde las polinomiales

son conocidas como polinomios de Bernstein de grado n, definidos por 0⁰ = 1.

Los puntos P_i son llamados puntos de control de las curvas de Bézier. El polígono formado por la conexión de los puntos de Bézier con rectas, comenzando por P₀ y terminando en P_n, se denomina polígono de Bézier (o polígono de control). La envolvente convexa del polígono de Bézier contiene las curvas de Bézier.

Las curvas de Bézier han sido ampliamente usadas en los gráficos generados por ordenador para modelado de curvas suaves. Como la curva está completamente contenida en la envolvente convexa de los puntos de control, dichos puntos pueden ser visualizados gráficamente sobre el área de trabajo y usados para manipular la curva de una forma muy intuitiva. Las transformaciones afines tales como traslaciones y rotaciones pueden ser aplicadas, con gran facilidad, a las curvas, aplicando las transformaciones respectivas sobre los puntos de control.

Las curvas cuadráticas y cúbicas son muy corrientes. Las curvas de grados superiores son más difíciles de evaluar. Cuanto más complejas son las superficies que se necesitan, las curvas de bajo orden son menos apropiadas. Para garantizar la suavidad de las curvas el punto de control en el que se juntan dos curvas y el punto de control sobre cualquiera de los lados debe ser colineal. Esta opción está frecuentemente desactivada en programas como Adobe Illustrator o Inkscape. Estas curvas poli-Bézier pueden ser observadas en el formato de archivo SVG.

El método más simple para rasterizar una curva de Bézier es evaluarla en muchos puntos espaciados, muy próximos entre sí, y escanearla aproximando la secuencia de segmentos lineales.

Esta manera de proceder no garantiza un resultado con la suficiente suavidad porque los puntos pueden estar espaciados demasiado separados. A la inversa, se pueden generar bastantes puntos de control en áreas donde la curva está cercana a la forma lineal.

Un método adoptado, muy común, es la subdivisión recursiva, en el que los puntos de control de la curva son ajustados para ver si la curva se aproxima a segmentos lineales sin pequeñas tolerancias. Si esto no se logra, la curva es subdividida paramétricamente en dos segmentos ${displaystyle 0leq tleq 0.5}$ y ${displaystyle 0.5leq tleq 1}$ y el mismo procedimiento se aplica por recursividad a cada mitad.

También hay métodos que usan la diferenciación, pero se debe tener cuidado y analizar los errores de propagación. Los métodos analíticos donde un desdoble es intersecado con cada línea escaneada hallando raíces de polinomios de grado tres (por segmentación cúbica) y con múltiples raíces, pero no son frecuentes en la práctica.

La síntesis de Bézier es un nuevo método de síntesis de ondas sonoras que se puede usar para crear sonidos usando curvas de Bézier.

El código que se lista a continuación es un ejemplo práctico que muestra como se traza una curva cúbica de Bézier en un programa usando lenguaje de programación C. Nótese que este simplemente calcula los coeficientes de un polinomio y se ejecuta a través de una serie de valores de ${displaystyle t}$ comprendidos en el intervalo ${displaystyle [0,1]}$. En la práctica no es como se procede de manera normal. Con frecuencia, una solución recursiva es más rápida, consumiendo menos ciclos de procesador y a expensas de requerir más memoria para el cálculo, de manera temporal. Incluso el método directo ilustrado aquí es más fácil de comprender y produce el mismo resultado. El siguiente código ha sido compilado para hacer esta operación más clara. En la práctica una optimización podría ser calcular los coeficientes una vez y posteriormente usar los resultados para reprocesarlos y calcular los puntos de la curva. Aquí son recalculados cada vez, lo que es menos eficiente pero ayuda a clarificar el código.

La curva resultante puede ser trazada dibujando líneas entre puntos sucesivos en la matriz de la curva. A más puntos más suavidad en la silueta de la curva.

En algunas arquitecturas, el código de abajo puede ser optimizado también por programación dinámica. Por ejemplo donde ${displaystyle dt}$ es constante, ${displaystyle cx*t}$ cambia una cantidad constante con cada iteración. Por aplicación repetida, el bucle puede ser reescrito sin ninguna multiplicación, aunque tal procedimiento no es numéricamente estable.

Otra aplicación de las curvas de Bézier es la descripción de los pasos para el movimiento de objetos en animaciones, etc. Aquí la x y las posiciones de la curva no son usadas para trazar la curva pero sí la posición en la gráfica. Cuando se usa de este modo, la distancia entre puntos sucesivos puede llegar a ser muy importante y, en general, estos no están espaciados de manera ecuánime. Si se requiere una linealidad en el movimiento, para procesar el cálculo más rápido, incluso en contra del camino deseado es necesario desdoblar los puntos resultantes.

Este tipo de curvas ajustan automáticamente los coeficientes de las ecuaciones paramétricas para obtener una aproximación a una figura arbitraria. El numerador es una ponderación de una curva Bézier en su forma de Berstein y el denominador es una suma ponderada de polinomios de Berstein.

Dados n + 1 puntos de control P_i, la curva racional puede ser descrita por:

o simplemente: