Densidad crítica

Las ecuaciones de Friedmann son un conjunto de ecuaciones utilizadas en cosmología física que describen la expansión métrica del espacio en modelos homogéneos e isótropos del universo dentro del contexto de la teoría general de la relatividad. Fueron halladas por Alexander Friedman en 1922^[1]​ a partir de las ecuaciones de campo de Einstein para la métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker y un fluido con una densidad de masa ${displaystyle ho }$ , ${displaystyle ([ ho ]=kg/m^{3})}$, y una presión ${displaystyle p}$, ${displaystyle ([p]=N/m^{2}=kg/(s^{2}m))}$, dadas. Las ecuaciones son:

${displaystyle H^{2}equiv left({frac {dot {a}}{a}} ight)^{2}={frac {8pi G ho +Lambda c^{2}}{3}}-K{frac {c^{2}}{a^{2}}}}$

${displaystyle 3{frac {ddot {a}}{a}}=Lambda c^{2}-4pi Gleft( ho +{frac {3p}{c^{2}}} ight)}$

Si la forma del universo es hiperesférica y ${displaystyle R}$ es el radio de curvatura (${displaystyle R_{0}}$ en el momento actual), entonces ${displaystyle a=R/R_{0}}$. Generalmente, ${displaystyle K over a^{2}}$ es la curvatura gaussiana. Si ${displaystyle K}$ es positiva, entonces el universo es hiperesférico. Si ${displaystyle K}$ es cero, el universo es plano, y si ${displaystyle K}$ es negativo, el universo es hiperbólico. Nótese que ${displaystyle ho }$ y ${displaystyle p}$ son función de ${displaystyle a}$. El parámetro de Hubble, ${displaystyle H}$, es un indicador de la velocidad de expansión del universo.

Estas ecuaciones a veces se simplifican redefiniendo la densidad de masa y la presión:

${displaystyle ho ightarrow ho -{frac {Lambda c^{2}}{8pi G}}}$

${displaystyle p ightarrow p+{frac {Lambda c^{4}}{8pi G}}}$

para obtener:

${displaystyle H^{2}equiv left({frac {dot {a}}{a}} ight)^{2}={frac {8pi G}{3}} ho -K{frac {c^{2}}{a^{2}}}}$

${displaystyle 3{frac {ddot {a}}{a}}=-4pi Gleft( ho +{frac {3p}{c^{2}}} ight)}$.

El parámetro de Hubble puede cambiar en el tiempo si otros miembros de la ecuación son dependientes del tiempo (en particular la densidad de energía, la energía del vacío y la curvatura). Evaluando el parámetro de Hubble en el momento actual produce que la constante de Hubble que es la constante de proporcionalidad de la ley de Hubble. Aplicado a un fluido con una ecuación de estado dada, las ecuaciones de Friedmann dan como resultado la evolución en el tiempo y la geometría del universo como función de la densidad del fluido.

Algunos cosmólogos llaman a la segunda de estas dos ecuaciones la ecuación de aceleración y se reservan el término ecuación de Friedmann solo para la primera ecuación.

El parámetro de densidad, Ω, se define como la relación de la densidad actual (u observada) ρ respecto a la densidad crítica ρ_c del universo de Friedmann. Una expresión para la densidad crítica se encuentra asumiendo que Λ es cero (como es para todos los universos de Friedmann básicos) y estableciendo la curvatura K igual a cero. Cuando se sustituyen estos parámetros en la primera ecuación de Friedmann se encuentra que

${displaystyle ho _{c}={frac {3H^{2}}{8pi G}}}$

y se obtiene que la expresión para el parámetro de densidad (útil para comparar diferentes modelos cosmológicos) es:

${displaystyle Omega equiv {frac { ho }{ ho _{c}}}={frac {8pi G}{3H^{2}}} ho }$

Este término originalmente fue utilizado como una manera de determinar la geometría del campo en el que ρ_c es la densidad crítica para la que la geometría es plana. Asumiendo una densidad de energía del vacío nula, si Ω es mayor que uno, la geometría es cerrada y el universo eventualmente parará su expansión y entonces se colapsará. Si Ω es menor que uno, será abierto y el universo se expandirá para siempre. Sin embargo, también se pueden sintetizar los términos de curvatura y de la energía del vacío en una expresión más general para Ω en el caso de que este parámetro de densidad de energía sea exactemente igual a la unidad. Entonces es una cuestión de medir los diferentes componentes, normalmente designados por subíndices. De acuerdo con el modelo Lambda-CDM, hay importantes componentes de Ω debido a bariones, materia oscura fría y energía oscura. La geometría del espacio-tiempo fue medida por el satélite WMAP estando cerca de ser una geometría plana, es decir, el parámetro de curvatura K es aproximadamente cero.

La primera ecuación de Friedmann a menudo se escribe formalmente con los parámeros de densidad:

${displaystyle {frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=Omega _{R}a^{-4}+Omega _{M}a^{-3}+Omega _{Lambda }-Kc^{2}a^{-2}}$

donde

Estableciendo ${displaystyle a={ ilde {a}}a_{0}, ho _{c}=3H_{0}^{2}/8pi G, ho = ho _{c}Omega ,t={ ilde {t}}/H_{0},Omega _{c}=-K/H_{0}^{2}a_{0}^{2}}$ donde ${displaystyle a_{0}}$ y ${displaystyle H_{0}}$ son por separado el factor de escala y el parámetro de Hubble actuales. Entonces se puede hallar que:

${displaystyle {frac {1}{2}}left({frac {d{ ilde {a}}}{d{ ilde {t}}}} ight)^{2}+U_{ m {eff}}({ ilde {a}})={frac {1}{2}}Omega _{c}}$

donde ${displaystyle U_{eff}({ ilde {a}})=Omega { ilde {a}}^{2}/2}$. Para cualquier forma del potencial efectivo ${displaystyle U_{eff}({ ilde {a}})}$, hay una ecuación de estado ${displaystyle p=p( ho )}$ que la producirá.