Hiperesfera

En matemáticas, una n-esfera (o hiperesfera) es la generalización de la «esfera» a un espacio euclídeo de dimensión arbitraria. En otras palabras, la n-esfera es una hipersuperficie del espacio euclídeo ${displaystyle mathbb {R} ^{n+1} }$ , notada en general ${displaystyle mathbb {S} ^{n} }$ . Constituye uno de los ejemplos más sencillos de variedad matemática.

Desde un punto de vista analítico, una $n$ -esfera es un espacio topológico que es homeomorfo a una $n$ -esfera estándar, que es el conjunto de puntos en un espacio euclídeo $(n +1)$ -dimensional que se encuentran a una distancia constante $r$ respecto a un punto fijo, llamado centro. Cuando la esfera tiene un radio unidad, es habitual llamarla $n$ -esfera unidad, o simplemente $n$ -esfera por brevedad. En términos de la norma estándar, una $n$ -esfera se define como

y una $n$ -esfera de radio $r$ se puede definir como

La 0-esfera es un par de puntos sobre una recta a una unidad de distancia del origen, la 1-esfera es una circunferencia en el plano y la 2-esfera es una esfera ordinaria dentro del espacio tridimensional.

La dimensión de una $n$ -esfera es $n$ , y no debe confundirse con la dimensión $(n +1)$ del espacio euclídeo en el que queda naturalmente embebida. Una $n$ -esfera es la superficie o límite de una bola $(n +1)$ dimensional.

En particular:

Para $n \geq2$ , las $n$ -esferas que son variedades diferenciables pueden caracterizarse (hasta un difeomorfismo) como variedades $n$ -dimensionales conexas de curvatura constante y positiva. Las $n$ -esferas admiten varias otras descripciones topológicas: por ejemplo, se pueden construir pegando dos espacios euclídeos $n$ -dimensionales, identificando el límite de un $n$ -cubo con un punto, o (inductivamente) formando la suspensión de una $(n -1)$ -esfera. La 1-esfera es la 1-variedad que es una circunferencia, que no es simplemente conexa. La 0-esfera es la 0-variedad que consta de dos puntos, que ni siquiera es conexa.

Dado un espacio euclídeo E de dimensión n+1, A un punto de E, y R un número real estrictamente positivo, se le llama hiperesfera de centro A y radio R al conjunto de puntos M tales que su distancia a A vale exactamente R.

La n+1-tupla de puntos (x₁,x₂,…,x_n+1) que están en una n-esfera (Sⁿ) se representa con la ecuación:

${displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+dots +x_{n+1}^{2}=R^{2}~}$ ,

donde el centro es el origen de coordenadas O (0,0,...,0).^[1] Teniendo como datos un punto fijo ${displaystyle P=(p_{1},p_{2},dots ,p_{n}),}$ llamado centro y el radio R, real positivo, siendo ${displaystyle X=(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}),}$ un punto cualquiera de la hiperesfera, la ecuación correspondiente es,^[2]^[3]

${displaystyle {sqrt {(x_{1}-p_{1})^{2}+(x_{2}-p_{2})^{2}+cdots +(x_{n}-p_{n})^{2}}}={sqrt {sum _{i=1}^{n}(x_{i}-p_{i})^{2}}}=R.}$

o escrito en forma vectorial, como:

${displaystyle |mathbf {x} -mathbf {p} |=R}$

Para cualquier número natural $n$ , una $n$ -esfera de radio $r$ se define como el conjunto de puntos en el espacio euclídeo $(n +1)$ -dimensional que están a una distancia $r$ de un punto fijo $c$ , donde $r$ puede ser cualquier número real positivo y donde $c$ puede ser cualquier punto en el espacio $(n +1)$ dimensional. En particular:

El conjunto de puntos en el espacio $(n +1)$ , $(x 1, x 2, ..., x n +1)$ , que definen una $n$ -esfera, ${displaystyle S^{n}(r)}$ , está representado por la ecuación:

donde $c$ = $(c 1, c 2, ..., c n +1)$ es un punto central y $r$ es el radio.

La $n$ -esfera anterior existe en el espacio euclídeo $(n +1)$ -dimensional y es un ejemplo de $n$ -variedad. La forma de volumen $ω$ de una $n$ -esfera de radio $r$ viene dada por

donde $*$ es el dual de Hodge; véase Flanders (1989, §6.1) para una discusión y prueba de esta fórmula en el caso $r = 1$ . Como resultado,

El espacio encerrado por una $n$ -esfera se llama $(n +1)$ -bola. Una $(n +1)$ -bola es cerrada si incluye la $n$ -esfera, y es abierta si no incluye la $n$ -esfera.

Específicamente:

Topológicamente, una $n$ -esfera se puede construir como una compactación en un punto del espacio euclídeo $n$ -dimensional. Brevemente, la $n$ -esfera puede describirse como $S n = R n \cup {\infty}$ , que es un espacio euclídeo $n$ -dimensional más un único punto que representa el infinito en todas las direcciones. En particular, si se elimina un único punto de una $n$ -esfera, se convierte en homeomórfica a $R n$ . Esta circunstancia sustenta la base de la proyección estereográfica.^[4]

$V n (R)$ y $S n (R)$ son el volumen $n$ -dimensional de una $n$ -bola y el área de la superficie de la $n$ -esfera incrustada en la dimensión $n +1$ , respectivamente, ambas de radio $R$ .

Las constantes $V n$ y $S n$ (para $R = 1$ , la bola unitaria y la esfera) están relacionadas por las recurrencias:

Las superficies y los volúmenes también se pueden dar en forma cerrada:

donde $Γ$ es la función gamma. Las deducciones de estas ecuaciones se dan en esta sección.

En teoría, se podrían comparar los valores de $S n (R)$ y $S m (R)$ para $n \neq m$ . Sin embargo, esto es algo sin sentido. Por ejemplo, si $n =2$ y $m =3$ , es como comparar un número de metros cuadrados con un número diferente de metros cúbicos. La misma falta de sentido se aplica a una comparación de $V n (R)$ y $V m (R)$ para $n \neq m$ .

El volumen del espacio delimitado por una hiperesfera de dimensión n-1 y de radio R, que es una bola euclídea de dimensión n viene determinado por:

(1) ${displaystyle V_{n}={pi ^{n/2}R^{n} over Gamma (n/2+1)} ,}$

donde ${displaystyle Gamma }$ es la función gamma.

Nótese la particularidad de que ${displaystyle V_{n}}$ se incrementa desde n=1 hasta un máximo y luego comienza a disminuir y tiende a cero cuando n tiende a infinito. En el caso de que R=1 el volumen máximo se obtiene cuando n=5.

Por ejemplo, el volumen de una hiperfesfera de radio R en el espacio cuadridimensional aplicando la fórmula (1) para n=4 resulta

${displaystyle V_{4}={frac {pi ^{2}R^{4}}{2}}}$ .

La 0-bola consiste en un solo punto. La medida de Hausdorff en 0 dimensiones es el número de puntos en un conjunto. Entonces,

La 1-bola unidad es el intervalo $[-1,1]$ de longitud 2. Entonces,

La 0-esfera consiste en sus dos puntos finales, ${-1,1}$ . Entonces,

La 1-esfera unidad es la circunferencia unidad en el plano euclídeo, cuyo perímetro (medida unidimensional) mide

La región encerrada por la 1-esfera unidad es la 2-bola o disco unidad, que tiene un área (medida bidimensional) de

Análogamente, en el espacio euclídeo tridimensional, el área de la superficie (medida bidimensional) de la 2-esfera unidad está dada por

y el volumen incluido es la capacidad (medida tridimensional) de la 3-bola unidad, dada por

El área de la superficie, o más adecuadamente, el volumen $n$ -dimensional, de la $n$ -esfera en el límite de la $(n +1)$ -bola de radio $R$ está relacionado con el volumen de la bola por la ecuación diferencial

o, de manera equivalente, representando la $n$ -bola unidad como la unión de $(n -1)$ -esferas concéntricas anidadas en forma de corona esférica,

Entonces,

También se puede representar la $(n +2)$ -esfera unidad como la unión de toros, cada uno el producto de un círculo (1-esfera) con una $n$ -esfera. Siendo $r = cos θ$ y $r 2 + R 2 = 1$ , de modo que $R = sin θ$ y $dR = cos θ dθ$ , entonces:

Desde $S 1 = 2π V 0$ , la ecuación

se cumple para todos los $n$ .

Esto completa la deducción de las recurrencias:

Combinando las recurrencias, se puede ver que

Entonces, es simple mostrar por inducción que para k,

donde $!!$ denota el doble factorial, definido para números naturales impares $2 k + 1$ por $(2 k + 1)!! = 1 \times 3 \times 5 \times ... \times (2 k - 1) \times (2 k + 1)$ y de manera similar para números pares $(2 k)!! = 2 \times 4 \times 6 \times ... \times (2 k - 2) \times (2 k)$ .

En general, el volumen en el espacio euclídeo $n$ -dimensional de la $n$ -bola unidad viene dado por

donde $Γ$ es la función gamma, que satisface $Γ (1 / 2) = \sqrt π$ , $Γ (1) = 1$ y $Γ (x + 1) = xΓ (x)$ .

Multiplicando $V n$ por $R n$ , diferenciando con respecto a $R$ , y luego configurando $R = 1$ , se obtiene la forma cerrada

Las recurrencias se pueden combinar para dar una relación de recurrencia de "dirección inversa" para el área de la superficie, como se muestra en el diagrama:

El cambio del índice $n$ a $n -2$ produce las relaciones de recurrencia siguientes:

donde $S 0 = 2$ , $V 1 = 2$ , $S 1 = 2π$ y $V 2 = π$ .

La relación de recurrencia para $V n$ también se puede probar a través de la integración con coordenadas polares bidimensionales:

Se puede definir un sistema de coordenadas en un espacio euclídeo $n$ -dimensional que es análogo al sistema de coordenadas esféricas definido para el espacio euclídeo tridimensional, en el que las coordenadas consisten en una coordenada radial $r$ , y las coordenadas angulares $n -1$ $φ 1, φ 2, ... φ n -1$ , donde los ángulos $φ 1, φ 2, ... φ n -2$ se extienden sobre $[0,π]$ radianes (o entre $[0,180]$ grados) y $φ n -1$ varía sobre $[0,2π)$ radianes (o entre $[0,360)$ grados). Si $x i$ son las coordenadas cartesianas, entonces se puede calcular $x 1, ... x n$ a partir de $r, φ 1, ... φ n -1$ con:^[5]

Excepto en los casos especiales descritos a continuación, la transformación inversa es única:

donde si $x k \neq 0$ para algunos $k$ pero todos $x k +1, ... x n$ son cero, entonces $φ k = 0$ cuando $x k > 0$ y $φ k = π$ (180 grados) cuando $x k < 0$ .

Hay algunos casos especiales donde la transformación inversa no es única; $φ k$ para cualquier $k$ será ambiguo siempre que todos los $x k, x k +1, ... x n$ sean cero; en este caso, $φ k$ puede elegirse como cero.

Expresando las medidas angulares en radianes, el elemento volumen en el espacio euclídeo $n$ -dimensional se encontrará a partir del Jacobiano de la transformación:

y la ecuación anterior para el volumen de la $n$ -bola se puede recuperar integrando:

De manera similar, el elemento del área de superficie de la $(n -1)$ -esfera, que generaliza el elemento de área de la 2-esfera, viene dado por

La elección natural de una base ortogonal sobre las coordenadas angulares es un producto de polinomios ultraesféricos,

para $j = 1, 2,... n -2$ , y $e isφ j$ para el ángulo $j = n -1$ en concordancia con los armónicos esféricos.

Al igual que una esfera bidimensional incrustada en tres dimensiones se puede representar en un plano bidimensional mediante una proyección estereográfica, una $n$ -esfera se puede representar en un hiperplano $n$ -dimensional mediante la versión $n$ -dimensional de la proyección estereográfica. Por ejemplo, el punto $[x, y, z]$ en una esfera bidimensional de radio 1 se asigna al punto $[x / 1 - z, y / 1 - z]$ en el plano $xy$ . En otras palabras,

Del mismo modo, la proyección estereográfica de una $n$ -esfera $S n -1$ de radio 1 se correlacionará con el hiperplano dimensional $(n -1)$ $R n -1$ perpendicular al eje $x n$ como

Para generar puntos aleatorios distribuidos uniformemente en la $(n -1)$ -esfera unidad (es decir, la superficie de la $n$ -bola unidad), Marsaglia (1972) proporciona el siguiente algoritmo:

Genérese un vector $n$ -dimensional de distribución normal (es suficiente usar $N(0, 1)$ , aunque en realidad la elección de la varianza es arbitraria), $x = (x 1, x 2,... x n)$ . Ahora, calcúlese el radio de este punto:

El vector $1 / r x$ se distribuye uniformemente sobre la superficie de la $n$ -bola unidad.

Una alternativa dada por Marsaglia es seleccionar uniformemente al azar un punto $x = (x 1, x 2,... x n)$ en el $n$ -cubo unidad, muestreando cada $x i$ independientemente de la distribución uniforme continua sobre $(-1,1)$ , calculando $r$ como arriba, y rechazando el punto y remuestreando si $r \geq 1$ (es decir, si el punto no está en la $n$ -bola), y cuando se obtiene un punto en la bola, se escala hacia la superficie esférica por el factor $1 / r$ ; de forma que de nuevo $1 / r x$ se distribuye uniformemente sobre la superficie de la $n$ -bola unidad.

Con un punto seleccionado al azar uniformemente desde la superficie de la $(n -1)$ -esfera unidad (por ejemplo, usando el algoritmo de Marsaglia), se necesita solo un radio para obtener un punto uniformente al azar desde dentro de la $n$ -bola unidad. Si $u$ es un número generado uniformemente al azar en el intervalo $[0, 1]$ y $x$ es un punto seleccionado uniformemente al azar de la $(n -1)$ -esfera unidad, entonces $u (1/ n) x$ se distribuye uniformemente dentro de la $n$ -bola unidad.

Alternativamente, los puntos se pueden muestrear uniformemente desde dentro de la $n$ -bola unidad mediante una reducción desde la $(n +1)$ -esfera unidad. En particular, si $(x 1, x 2,..., x n +2)$ es un punto seleccionado uniformemente de la $(n +1)$ -esfera unidad, entonces $(x 1, x 2,..., x n)$ se distribuye uniformemente dentro de la $n$ -bola unidad (es decir, simplemente descartando dos coordenadas).^[6]

Si $n$ es suficientemente grande, la mayor parte del volumen de la $n$ -bola estará contenido en la región muy cercana de su superficie, por lo que un punto seleccionado de ese volumen probablemente también estará cerca de la superficie. Este es uno de los fenómenos que conducen a la llamada maldición de la dimensión, que surge en algunas aplicaciones numéricas.

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