Dependencia e independencia lineal

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R³, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Dado un conjunto finito de vectores ${displaystyle {mathbf {v} _{1},mathbf {v} _{2},cdots ,mathbf {v} _{n}}}$, se dice que estos vectores son linealmente independientes si dada la ecuación

${displaystyle a_{1}mathbf {v} _{1}+a_{2}mathbf {v} _{2}+cdots +a_{n}mathbf {v} _{n}=mathbf {0} }$

esta se satisface únicamente cuando ${displaystyle a_{1},a_{2},cdots ,a_{n}}$ son todos cero. En caso contrario, se dice que son linealmente dependientes.

Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo ${displaystyle mathbf {0} }$. El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes. La definición anterior también puede extenderse a un conjunto infinito de vectores, concretamente un conjunto cualquiera de vectores es linealmente dependiente si contiene un conjunto finito que sea linealmente dependiente.

Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:

Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente independientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:

Geométricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección. Esta definición supone que el vector nulo tiene todas las direcciones, en otras palabras este debe generar un área.

Tres vectores son independientes si y solo si, no están contenidos en el mismo plano vectorial. O sea si ninguno de ellos es una combinación lineal de los otros dos (en cuyo caso estaría en el plano generado por estos vectores), en otras palabras este debe generar un volumen.

El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigido por este vector. El espacio generado por dos vectores independientes es el plano que los contiene. Resulta fácil comprobar que el espacio generado por un sistema de vectores es el menor (por la inclusión) espacio vectorial que los contiene a todos. Se le denomina vect A, donde A es el sistema de vectores. Si n vectores son independientes, el espacio generado es de dimensión n (dimensión en el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para un plano...).

En el espacio tridimensional usual:

Ejemplo del uso de la fórmula f:

¿Son los tres vectores siguientes independientes?

Buscamos tres valores x, y y z que satisfagan la ecuación:

Lo que equivale al sistema de ecuaciones siguiente:

Dado que la única solución es la trivial (x = y = z = 0), los tres vectores son independientes.

Un método alternativo usa el hecho que n vectores en Rⁿ son linealmente independientes si y solo si el determinante de la matriz formada por estos vectores como columnas es distinto de cero.

Dados los vectores:

${displaystyle {vec {u}}={egin{pmatrix}1\1end{pmatrix}},,quad {vec {v}}={egin{pmatrix}-3\2end{pmatrix}},,quad }$

La matriz formada por éstos es:

El determinante de esta matriz es:

Ya que el determinante es no nulo, los vectores (1, 1) y (−3, 2) son linealmente independientes.

Sea V = Bⁿ y consideremos los siguientes elementos en V:

Entonces e₁, e₂,..., e_n son linealmente independientes. Estos vectores constituyen la base canónica en R.

Supongamos que a₁, a₂,..., a_n son elementos de R tales que:

Sustituyendo e₁, e₂,..., e_n resulta:

${displaystyle a_{1}(1,0,...,0)+a_{2}(0,1,...,0)+...+a_{n}(0,0,...,1),}$

Multiplicando:

${displaystyle (a_{1},0,...,0)+(0,a_{2},...,0)+...+(0,0,...,a_{n}),}$

Sumando coordenadas:

${displaystyle (a_{1}+0+0+ldots +0,0+a_{2}+0+ldots +0,ldots ,0+0+ldots +a_{n}),}$

Por lo que se obtiene: ${displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n}),}$

Así que:

Además: ${displaystyle a_{1}mathbf {e} _{1}+a_{2}mathbf {e} _{2}+cdots +a_{n}mathbf {e} _{n}=0,}$

Pero 0 es un vector, entonces: ${displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})=(0,0,...,0),}$

Por lo que a_i = 0 para todo i en {1,..., n}.

Entonces los vectores ${displaystyle e_{1},e_{2},ldots ,e_{n},}$ son linealmente independientes

Sea V el espacio vectorial de todas las funciones a variable real. Entonces las funciones e^t y e^2t en V son linealmente independientes.

Supongamos que a y b son dos números reales tales que:

Para todos los valores de t. Necesitamos demostrar que a = 0 y b = 0. Para hacer esto dividimos por e^t (que es un número real diferente de cero, sea cual sea t) y restando obtenemos:

En otras palabras, la función be^t debe ser independiente de t, lo cual ocurre únicamente cuando b = 0. Por lo tanto, a es cero.

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