Determinante (matemáticas)

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada sobre un espacio vectorial. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante de una matriz haciéndolo aplicable en numerosos campos. El concepto de determinante o volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Jiuzhang Suanshu) fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que, desde el siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminación de Gauss-Jordan.

La historia de los determinantes

Los determinantes hicieron su aparición en las matemáticas más de un siglo antes que las matrices. El término matriz fue creado por James Joseph Sylvester , tratando de dar a entender que era “la madre de los determinantes”.

Algunos de los más grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX contribuyeron al desarrollo de las propiedades de los determinantes. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que la teoría de los determinantes se originó con el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Leibniz empleó los determinantes en 1693 con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. No obstante hay quienes creen que el matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos años antes.

Las contribuciones más prolíficas a la teoría de los determinantes fueron las del matemático francés Agustin-Louis Cauchy (1789-1857). Cauchy escribió, en 1812 una memoria de 84 páginas que contenía la primera demostración de la fórmula ${displaystyle det AB=det Adet B}$.

Hay algunos otros matemáticos que merecen ser mencionados aquí. El desarrollo de un determinante por cofactores fue empleado por primera vez por el matemático francés Pierre de Laplace (1749-1827).

Un contribuyente principal en la teoría de los determinantes (estando solo Cauchy antes que él) fue el matemático alemán Carl Gustav Jacobi (1804-1851). Fue él con quien la palabra “determinante” ganó la aceptación definitiva. Sylvester llamó más tarde jacobiano a este determinante.

En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardano en 1545 en su obra Ars Magna como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Esta primera fórmula lleva el nombre de regula de modo.

La aparición de determinantes de órdenes superiores tardó aún más de cien años en llegar. Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz dieron los primeros ejemplos casi simultáneamente.

Leibniz estudió los distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Al no disponer de la notación matricial, representaba los coeficientes de las incógnitas con una pareja de índices: así pues escribía ij para representar ${displaystyle a_{ij}}$. En 1678 se interesó por un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y obtuvo, para dicho ejemplo, la fórmula de desarrollo a lo largo de una columna. El mismo año, escribió un determinante de orden 4, correcto en todo salvo en el signo.^[1]​ Leibniz no publicó este trabajo, que pareció quedar olvidado hasta que los resultados fueron redescubiertos de forma independiente cincuenta años más tarde.

En el mismo periodo, Kowa Seki publicó un manuscrito sobre los determinantes, donde se hallan fórmulas generales difíciles de interpretar. Parece que se dan fórmulas correctas para determinantes de orden 3 y 4, y de nuevo los signos están mal para los determinantes de tamaño superior.^[2]​ El descubrimiento se quedó sin futuro a causa del cierre de Japón al mundo exterior por órdenes del shōgun, lo que se ve reflejado en la expulsión de los Jesuitas en 1638.

En 1748, en un tratado póstumo de álgebra de MacLaurin aparece la regla para obtener la solución de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas cuando n es 2, 3 o 4, mediante el uso de determinantes.^[3]​ En 1750, Cramer da la regla para el caso general, aunque no ofrece demostración alguna. Los métodos de cálculo de los determinantes son hasta entonces delicados debido a que se basan en la noción de signatura de una permutación.^[4]​

Los matemáticos se familiarizan con este nuevo objeto a través de los artículos de Bézout en 1764, de Vandermonde en 1771 (que proporciona concretamente el cálculo del determinante de la actual Matriz de Vandermonde). En 1772, Laplace establece las reglas de recurrencia que llevan su nombre. En el año siguiente, Lagrange descubre la relación entre el cálculo de los determinantes y el de los volúmenes. ^[5]​

Gauss utiliza por primera vez el término «determinante», en las Disquisitiones arithmeticae en 1801. Lo empleaba para lo que hoy día denominamos discriminante de una cuádrica y que es un caso particular de determinante moderno. Igualmente estuvo cerca de obtener el teorema del determinante de un producto.

Cauchy fue el primero en emplear el término determinante con su significado moderno. Se encargó de realizar una síntesis de los conocimientos anteriores y publicó en 1812 la fórmula y demostración del determinante de un producto junto con el enunciado y demostración de la regla de Laplace.^[6]​ Ese mismo año Binet ofreció otra demostración (incorrecta) para la fórmula del determinante de un producto.^[6]​ Paralelamente Cauchy establece las bases del estudio de la reducción de endomorfismos.

En 1825 Heinrich F. Scherk publicó nuevas propiedades de los determinantes.^[6]​ Entre las propiedades halladas estaba la propiedad de que en una matriz en la que una fila es combinación lineal de varias de otras filas de la matriz el determinante es cero.

Con la publicación de sus tres tratados sobre determinantes en 1841 en la revista de Crelle, Jacobi aporta a la noción una gran notoriedad. Por primera vez presenta métodos sistemáticos de cálculo bajo una forma algorítmica. Del mismo modo, hace posible la evaluación del determinante de funciones con la definición del jacobiano, lo que supone un gran avance en la abstracción del concepto del determinante.

El cuadro matricial es introducido por los trabajos de Cayley y James Joseph Sylvester^{[cita requerida]}. Cayley es también el inventor de la notación de los determinantes mediante barras verticales (1841^[6]​) y establece la fórmula para el cálculo de la inversa de una matriz mediante determinantes(1858) ^[5]​.

La teoría se ve reforzada por el estudio de determinantes que tienen propiedades de simetría particulares y por la introducción del determinante en nuevos campos de las matemáticas, como el wronskiano en el caso de las ecuaciones diferenciales lineales.

Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema.

Además de esta regla, para calcular determinantes de matrices de cualquier orden podemos usar otra definición de determinante conocida como Fórmula de Leibniz.

La fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz cuadrada A de orden n es:

${displaystyle det A=sum _{sigma in P_{n}}operatorname {sgn}(sigma )prod _{i=1}^{n}a_{i,sigma _{i}}}$,

donde la suma se calcula sobre todas las permutaciónes σ del conjunto {1,2,...,n}. La posición del elemento i después de la permutación σ se denota como σ_i. El conjunto de todas las permutaciones es ${displaystyle P_{n}}$. Para cada σ, sgn(σ) es la signatura de σ, esto es +1 si la permutación es par y −1 si es impar (ver Paridad de permutaciones).

En cualquiera de los ${displaystyle n!}$ sumandos, el término

denota el producto de las entradas en la posición (i, σ_i), donde i va desde 1 hasta n:

La fórmula de Leibniz es útil como definición de determinante; pero, excepto para órdenes muy pequeños, no es una forma práctica de calcularlo: hay que llevar a cabo n! productos de n factores y sumar n! elementos. No se suele usar para calcular el determinante si la matriz tiene más de tres filas.

El caso de matrices de orden inferior (orden 1, 2 o 3) es muy simple y su determinante se calcula con sencillas reglas conocidas. Dichas reglas son también deducibles del teorema de Laplace.

Una matriz de orden uno, es un caso trivial, pero lo trataremos para completar todos los casos. Una matriz de orden uno puede ser tratada como un escalar, pero aquí la consideraremos una matriz cuadrada de orden uno:

El valor del determinante es igual al único término de la matriz:

El determinante de una matriz de orden 2:

se calculan con la siguiente fórmula:

Dada una matriz de orden 3:

El determinante de una matriz de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:

El determinante de orden n, puede calcularse mediante el teorema de Laplace a partir de una fila o columna, reduciendo el problema al cálculo de n determinantes de orden n-1. Para ello se toma una fila o columna cualquiera, multiplicando cada elemento por su cofactor. El cofactor de un elemento ${displaystyle a_{ij}}$ de la matriz es el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la fila y columna correspondiente a dicho elemento, y multiplicándolo por (-1)^i+j, donde i es el número de fila y j el número de columna. La suma de todos los productos de los elementos de una fila (o columna) cualquiera multiplicados por sus cofactores es igual al determinante.

En caso de un determinante de orden 4, se obtienen directamente determinantes de orden 3 que podrán ser calculados por la regla de Sarrus. En cambio, en los determinantes de orden superior, como por ejemplo n = 5, al desarrollar los elementos de una línea, obtendremos determinantes de orden 4, que a su vez se deberán desarrollar en por el mismo método, para obtener determinantes de orden 3. Por ejemplo, para obtener con el método especificado un determinante de orden 4, se deben calcular 4 determinantes de orden 3. Esto puede aligerarse si previamente se logran tres ceros en una fila o columna, bastando entonces con calcular un determinante de orden 3 (ya que los demás determinantes estarán multiplicados por 0, lo que los anula).

La cantidad de operaciones aumenta muy rápidamente. Por ejemplo, mediante este método, para un determinante de orden 10 se deberán calcular 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 604.800 determinantes de orden 3.

También puede utilizarse el Método de eliminación Gaussiana, para convertir la matriz en una matriz triangular.

Para reducir el coste computacional de los determinantes a la vez que mejorar su estabilidad frente a errores de redondeo, se aplica la regla de Chio, que permite utilizar métodos de triangularización de la matriz reduciendo con ello el cálculo del determinante al producto de los elementos de la diagonal de la matriz resultante. Para la triangularización se puede utilizar cualquier método conocido que sea numéricamente estable. Estos suelen basarse en el uso de matrices ortonormales, como ocurre con el método de Gauss o con el uso de reflexiones de Householder o rotaciones de Givens.

Bajo ciertas condiciones puede definirse el determinante de aplicaciones lineales de un espacio vectorial de Banach de dimensión infinita. En concreto en el determinante está definido para los operadores de la clase de determinante que puede a partir de los operadores de la clase de traza. Un ejemplo notable fue el determinante de Fredholm que este definió en conexión con su estudio de la ecuación integral que lleva su nombre:

(*)${displaystyle f(x)=phi (x)+int _{0}^{1}K(x,y)phi (y) dy}$

Donde:

La ecuación (*) tiene solución si el determinante de Fredholm ${displaystyle det(I+{hat {K}})}$ no se anula. El determinante de Fredholm en este caso generaliza el determinante en dimensión finita y puede calcularse explícitamente mediante:

${displaystyle det(I+{hat {K}})=sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{k!}}int _{0}^{1}dots int _{0}^{1}det[K(x_{i},x_{j})]_{1leq i,jleq k} dx_{1}dots dx_{k}}$

La propia solución de la ecuación (*) puede escribirse de manera simple en términos del determinante cuando este no se anula.

El cálculo de áreas y volúmenes bajo forma de determinantes en espacios euclídeos aparecen como casos particulares de una noción más general de determinante. La letra mayúscula D (Det) se reserva a veces para distinguirlos.

Sea P el plano euclídeo. El determinante de los vectores X y X' se obtiene con la expresión analítica

o, de manera equivalente, por la expresión geométrica

en la cual ${displaystyle heta }$ es el ángulo orientado formado por los vectores X y X'.

y respecto al segundo

La figura 2, en el plano, ilustra un caso particular de esta fórmula. Representa dos paralelogramos adyacentes, uno definido por los vectores u y v (en verde), y otro por los vectores u' y v (en azul). Es fácil ver sobre este ejemplo el área del paralelogramo definido por los vectores u+u' y v (en gris): es igual a la suma de los dos paralelogramos precedentes a la cual se sustrae el área de un triángulo y se añade el área de otro triángulo. Ambos triángulos se corresponden por translación y la fórmula siguiente se verifica Det (u+u', v)=Det (u, v)+Det (u', v).

El dibujo corresponde a un caso particular de la fórmula de bilinealidad ya que las orientaciones han sido elegidas de manera que las áreas tengan el mismo signo, aunque ayuda a comprender el contenido geométrico.

Es posible definir la noción de determinante en un plano euclídeo orientado con una base ortonormal directa B utilizando las coordenadas de los vectores en esta base. El cálculo del determinante da el mismo resultado sea cual sea la base ortonormal directa elegida para el cálculo.

Sea E el espacio euclídeo orientado de dimensión 3. El determinante de tres vectores de E se da por

Este determinante lleva el nombre de producto mixto.

Una ilustración geométrica de esta propiedad se da en la figura 3 con dos paralelepípedos adyacentes, es decir con una cara común. La igualdad siguiente es entonces intuitiva:

${displaystyle det mathbf {AB} =det mathbf {A} cdot det mathbf {B} }$

Esta propiedad es más trascendente de lo que parece y es muy útil en el cálculo de determinantes. En efecto, supongamos que queremos calcular el determinante de la matriz ${displaystyle mathbf {A} }$ y que ${displaystyle mathbf {U} }$ es cualquier matriz con determinante uno (el elemento neutro respecto al producto del cuerpo). En este caso, se verifica que:

${displaystyle det mathbf {A} =det mathbf {A} cdot det mathbf {U} =det mathbf {AU} }$

y análogamente ${displaystyle det mathbf {A} =det mathbf {UA} }$,

Una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz. La matriz asociada a la composición de aplicaciones lineales entre espacios de dimensión finita se puede calcular mediante el producto de matrices. Dadas dos aplicaciones lineales ${displaystyle u,}$ y ${displaystyle v,}$, se cumple lo siguiente:

${displaystyle det(ucirc v)=det(u)cdot det(v)}$

Sean ${displaystyle A,B,C,D}$ matrices de tamaños ${displaystyle n imes n,n imes m,m imes n,m imes m}$ respectivamente. Entonces

${displaystyle det left[{egin{array}{cc}A&0\C&Dend{array}} ight]=det left[{egin{array}{cc}A&B\0&Dend{array}} ight]=det Acdot det D}$.

Esto se puede ver de la fórmula de Leibniz. Empleando la siguiente identidad

vemos que para una matriz inversible A, es

Análogamente, se puede obtener una identidad similar con ${displaystyle det D}$ factorizado.^[7]​

Si ${displaystyle d_{ij}}$ son matrices diagonales,

La función determinante puede definirse sobre el espacio vectorial formado por las matrices cuadradas de orden n. Dicho espacio vectorial puede convertirse fácilmente en un espacio vectorial normado mediante la norma matricial, gracias a lo cual dicho espacio se convierte en un espacio métrico y topológico, donde se pueden definir límites. El determinante puede definirse como un morfismo del álgebra de las matrices al conjunto de los elementos del cuerpo sobre el que se definen las matrices:

${displaystyle det :M_{n imes n}(mathbb {K} ) o mathbb {K} }$

La diferencial de la función determinante viene dada en términos de la matriz de adjuntos:

${displaystyle {frac {partial det(mathbf {A} )}{partial mathbf {H} }}:=D(det )|_{mathbf {A} }(mathbf {H} )=lim _{epsilon o 0}{frac {det(mathbf {A+epsilon H} )-det(mathbf {A} )}{epsilon }}={mbox{tr}}left({mbox{adj}}(mathbf {A} ) mathbf {H} ight)}$

Donde:

Además del determinante de una matriz cuadrada, dada una matriz se pueden definir otras magnitudes mediante el empleo de determinantes relacionadas con las propiedades algebraicas de dicha matriz. En concreto dada una matriz cuadrada o rectangular se pueden definir los llamados determinantes menores de orden r a partir del determinante de submatrices cuadradas de rxr de la matriz original. Dada la matriz ${displaystyle mathbf {A} =[a_{ij}]}$:

${displaystyle mathbf {A} ={egin{bmatrix}a_{11}&dots &a_{1n}\dots &dots &dots \a_{m1}&dots &a_{mn}end{bmatrix}}}$

Se define cualquier menor de rango r como:

${displaystyle {egin{vmatrix}a_{i_{1}j_{1}}&dots &a_{i_{1}j_{r}}\dots &dots &dots \a_{i_{r}j_{1}}&dots &a_{i_{r}j_{r}}end{vmatrix}},qquad {egin{cases}1leq i_{1}<i_{2}<dots <i_{r}leq n\1leq j_{1}<j_{2}<dots <j_{r}leq mend{cases}}}$

Debe notarse que en general existirá un número elevado de menores de orden r, de hecho el número de menores de orden r de una matriz mxn viene dado por:

${displaystyle {mbox{Min}}_{r}^{m imes n}={m choose r}{n choose r}}$

Una propiedad interesante es que el rango coincide con el orden del menor no nulo más grande posible, siendo el cálculo de menores una de los medios más empleados para calcular el rango de una matriz o de una aplicación lineal.

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