Derivación (matemática)

La derivación, matemáticamente, es un concepto esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables, sus cualidades, sus propiedades y sus consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Sea ${displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable y ${displaystyle pin M}$, llamaremos derivación en el punto ${displaystyle p_{}^{}}$ a

Sea ${displaystyle M=mathbb {R} ^{n}}$ y ${displaystyle pin M}$, veamos que la aplicación siguiente es derivación:

Sea ${displaystyle M=mathbb {R} ^{n},;pin M;y;vin M:||v||=1}$, de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

Sea ${displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable y ${displaystyle pin M}$, llamaremos espacio tangente a ${displaystyle M_{}^{}}$ en ${displaystyle p_{}^{}}$ al ${displaystyle mathbb {R} -}$espacio vectorial de las derivaciones de ${displaystyle M_{}^{}}$ en ${displaystyle p_{}^{}}$, notado por ${displaystyle {mathcal {T}}_{p}M}$, y sus elementos se llamaran vectores tangentes a ${displaystyle M_{}^{}}$ en ${displaystyle p_{}^{}.}$

Sea ${displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable, ${displaystyle pin M}$, ${displaystyle forall delta _{p}in {mathcal {T}}_{p}M}$ y ${displaystyle fin {mathcal {F}}(M)}$ tal que ${displaystyle exists {}U_{}^{}}$ entorno abierto en ${displaystyle p_{}^{}}$ donde ${displaystyle f(x)=lambda }$, ${displaystyle forall xin M}$, entonces tenemos que ${displaystyle delta _{p}^{}f=0.}$

Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase ${displaystyle {mathcal {C}}^{infty }}$:

Sea ${displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable, ${displaystyle pin M,;forall delta _{p}in {mathcal {T}}_{p}M}$, ${displaystyle fin {mathcal {F}}(M)}$ y ${displaystyle ho }$ una función meseta asociada a ${displaystyle (p,V)_{}^{}}$, tenemos que:

Sea ${displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable, ${displaystyle pin M,;forall delta _{p}in {mathcal {T}}_{p}M}$ y ${displaystyle f,gin {mathcal {F}}(M)}$ tal que ${displaystyle exists {}V_{}^{}}$ entorno abierto en ${displaystyle p_{}^{}}$ donde ${displaystyle f_{|V}^{}=g_{|V}}$, entonces tenemos que ${displaystyle delta _{p}^{}(f)=delta _{p}(g)}$.

En geometría diferencial y cálculo elemental se han definido muchos tipos de operadores que de hecho son derivaciones, entre ellas: