Geometría diferencial

En matemáticas, la geometría diferencial es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático y del álgebra multilineal. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables, que generalizan la noción de superficie en el espacio euclídeo, así como las aplicaciones diferenciables entre ellas. Las variedades no tienen por qué tener una interpretación geométrica natural, ni tampoco tienen por qué estar inmersas en un espacio circundante: por ejemplo, el grupo lineal general ${displaystyle GL(n,mathbb {R} )}$ tiene estructura de variedad diferenciable, pero no una interpretación geométrica intuitiva.^[1]​

Mientras que la topología diferencial se centra únicamente en las propiedades topológicas de las variedades, la geometría diferencial permite aplicar resultados conocidos del cálculo multivariable a las aplicaciones entre variedades. Además, es posible adscribir a cualquier variedad propiedades geométricas tales como distancias y ángulos si se le dota de una métrica de Riemann; y características como geodésicas y curvatura si se añade una conexión.^[2]​

La geometría diferencial tiene importantes aplicaciones en física, especialmente en el estudio de la teoría de la relatividad general, donde el espacio-tiempo se describe como una variedad diferenciable.

Una variedad es un objeto matemático que generaliza las nociones de curvas y superficies a objetos de más de dos dimensiones, no necesariamente embebidos en el espacio euclídeo. De forma intuituva, una variedad ${displaystyle M}$ es un conjunto que localmente es similar al espacio euclideo ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ de dimensión ${displaystyle n}$, para cierto entero positivo ${displaystyle n}$ que se denomina dimensión de la variedad.

El modo de describir esta relación entre ambos conjuntos es por medio de colecciones de funciones, llamadas cartas. A la colección de estas cartas se le denomina atlas. Un atlas ${displaystyle {mathcal {A}}}$ para una variedad ${displaystyle M}$ es una colección de pares ${displaystyle {mathcal {A}}={(U_{alpha },varphi _{alpha }):alpha in I}}$, donde

A las funciones ${displaystyle varphi _{alpha }}$ se les denomina funciones de coordenadas. Para cada par de índices ${displaystyle alpha ,eta in I}$, la función

está bien definida cuando las imágenes de ambas cartas tienen intersección no vacía. Estas funciones se denominan funciones de transición, y son funciones reales de varias variables, cuyas propiedades son bien conocidas. Dependiendo de qué propiedades tengan estas funciones, hablaremos de un tipo de variedad o de otra.

Sobre la base de una variedad ${displaystyle M}$ se pueden definir niveles sucesivos de estructura que añaden propiedades adicionales. En general, estas dependen de las propiedades que son conservadas por las funciones de transición; en otros casos es necesario especificar la estructura adicional de forma explícita:

Cuando dos variedades tienen estructura de variedad diferenciable, entonces podemos definir la noción de aplicación diferenciable entre ellas. Sean dos variedades ${displaystyle M}$ y ${displaystyle N}$, de dimensiones ${displaystyle m}$ y ${displaystyle n}$, con estructura diferenciable respecto de los atlas ${displaystyle {(U_{alpha },varphi _{alpha }):alpha in I}}$ y ${displaystyle {(W_{eta },psi _{eta }):eta in J}}$.

Se dice que una aplicación ${displaystyle f:M o N}$ es diferenciable en un punto p si para todo par de cartas ${displaystyle (U_{alpha },varphi _{alpha })}$ y ${displaystyle (W_{eta },psi _{alpha })}$, centradas en p y en f(p) respectivamente, la composición

es diferenciable como función multivariable ${displaystyle F:V_{alpha }subset mathbb {R} ^{m} o W_{eta }subset mathbb {R} ^{n}}$. Se dice que la aplicación es diferenciable' si es diferenciable en todo punto de ${displaystyle M}$. El que las funciones de transición sean diferenciables garantiza que la definición no dependa de las cartas elegidas.^[5]​

Se tienen las siguientes propiedades: