Derivada covariante gauge

La derivada covariante gauge es una generalización de la derivada covariante utilizada en relatividad general. Si una teoría tiene simetrías gauge, significa que algunas de las propiedades físicas de ciertas ecuaciones no se modifican bajo aquellas transformaciones. Así mismo, la derivada covariante gauge es la derivada normal modificada de tal manera que se comporte como un verdadero operador vectorial, de modo que las ecuaciones escritas utilizando la derivada covariante preservan sus propiedades físicas bajo transformaciones gauge.

En dinámica de fluidos, la derivada covariante gauge de un fluido se define como

donde ${displaystyle mathbf {v} }$ es el campo vectorial de la velocidad de un fluido.

En teoría gauge, que estudia una clase particular de campos que tienen de importancia en la teoría de campos cuánticos, la derivada covariante en acoplamiento mínimo se define como

donde ${displaystyle A_{mu }}$ es el cuadrivector de potencial electromagnético.

(Nota que esto es válido para una signatura ${displaystyle (-,+,+,+)}$ en la métrica de Minkowski, la que se emplea en este artículo. Para ${displaystyle (+,-,-,-)}$ el menos pasa a ser un más.)

Considerar una transformación gauge genérica (posiblemente no-abeliana) dada por

donde ${displaystyle alpha (x)}$ es un elemento del álgebra de Lie asociada con el grupo de Lie de transformaciones, y se puede expresar en términos de los generadores como ${displaystyle alpha (x)=alpha ^{a}(x)t^{a}}$.

La derivada parcial ${displaystyle partial _{mu }}$ transforma consiguientemente como

y por tanto un término cinético de la forma ${displaystyle phi ^{dagger }partial _{mu }phi }$ no es invariante bajo esta transformación.

Podemos introducir la derivada covariante ${displaystyle D_{mu }}$ en este contexto como generalización de la derivada parcial ${displaystyle partial _{mu }}$ que transforma covariantemente bajo la transformación gauge, esto es, un objeto que satisface

que en términos de operadores toma la forma

Así pues calculamos (omitiendo las dependencias explícitas en ${displaystyle x}$ por brevedad)

donde

El requisito para que ${displaystyle D_{mu }}$ transforme covariantemente se traduce ahora en la condición

Para obtener una expresión explícita hacemos el Ansatz

de donde se sigue que

y

que ${displaystyle U(x)=1+ialpha (x)+{mathcal {O}}(alpha ^{2})}$ es de la forma

Así que hemos encontrado un objeto ${displaystyle D_{mu }}$ tal que

Si una transformación gauge está dada por

y para el potencial gauge

entonces ${displaystyle D_{mu }}$ transforma como

y ${displaystyle D_{mu }psi }$ transforma como

y ${displaystyle {ar {psi }}:=psi ^{dagger }gamma ^{0}}$ como

de modo que

y ${displaystyle {ar {psi }}D_{mu }psi }$ en el lagrangiano de la electrodinámica cuántica es por tanto invariante gauge.

Por otro lado, la derivada no covariante ${displaystyle partial _{mu }}$ no preservaría la simetría gauge del lagrangiano, ya que

En cromodinámica cuántica, la derivada covariante gauge es^[1]​

donde ${displaystyle g}$ es la constante de acoplamiento, ${displaystyle A}$ es el campo gauge gluónico, para los ocho gluones diferentes ${displaystyle alpha =1dots 8}$ , ${displaystyle psi }$ es un espinor de Dirac de cuatro componentes, y ${displaystyle lambda _{alpha }}$ es una de las ocho matrices de Gell-Mann.

La derivada covariante en el Modelo Estándar puede ser expresada en la forma siguiente:^[2]​