Derivada covariante

La derivada covariante (${displaystyle scriptstyle abla _{i}}$) es una generalización del concepto de derivada parcial (${displaystyle scriptstyle partial _{i}}$) que permite extender el cálculo diferencial sobre ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{n}}$ con coordenadas cartesianas al caso de coordenadas curvilíneas en ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{n}}$ (y también al caso todavía más general de variedades diferenciables).

Introduciremos primero el caso de ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{n}}$. Supongamos que tenemos n campos vectoriales que en cada punto forman una base vectorial ${displaystyle scriptstyle {mathbf {e} _{1},dots mathbf {e} _{n}}}$ y un campo vectorial contravariante adicional ${displaystyle scriptstyle mathbf {v} }$ de tal manera que este campo puede expresarse en términos de la base anterior:

${displaystyle mathbf {v} (x)=sum _{k=1}^{n}v^{k}(x)mathbf {e} _{k}(x)}$

Donde ${displaystyle scriptstyle v^{k}}$ son las componentes del vector en dicha base. Si se usan coordenadas curvilíneas ${displaystyle scriptstyle (x^{1},dots x^{n})}$, los vectores tangentes a las curvas coordenadas cambian de punto a punto. Eso implica que aun cuando el campo vectorial sea constante en general sus coordenadas en la base elegida no serán constantes y en general sucederá que la derivada covariante (${displaystyle scriptstyle {ar {partial }}}$):

${displaystyle {ar {partial }}_{i}mathbf {v} eq {frac {partial mathbf {v} }{partial x^{i}}}:=sum _{k=1}^{n}{frac {partial v^{k}}{partial x^{i}}}mathbf {e} _{k}}$

Ya que también es necesario considerar la variación de orientación de la base vectorial al pasar de un punto a otro, es decir, para evaluar la derivada (covariante) anterior necesitamos evaluar:

(1)${displaystyle {ar {partial }}_{i}mathbf {v} ={frac {{ar {partial }}mathbf {v} }{{ar {partial }}x^{i}}}:=sum _{k=1}^{n}{frac {partial v^{k}}{partial x^{i}}}mathbf {e} _{k}+sum _{k=1}^{n}v^{k}{frac {{ar {partial }}mathbf {e} _{k}}{{ar {partial }}x^{i}}}}$

Donde el término segundo adicional da cuenta de cómo cambia la base vectorial al recorrer una línea coordenada curvilínea. Es decir cuando se usan coordenadas cartesianas en ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{n}}$ las líneas coordenadas son líneas rectas paralelas a los ejes coordenados, y de alguna manera en cada punto la base vectorial escogida para medir las coordenadas de un campo vectorial en todos los puntos están "sincronizadas". Pero en coordenadas curvilíneas al pasar de un punto a otro, los vectores tangentes a las líneas coordenadas usados como base no coindirán de un punto a otro y es necesario computar su variación al cambiar de punto. En general los vectores ${displaystyle scriptstyle mathbf {e} _{k}(x)}$ no sólo dependen del punto, es necesario especificar cómo se "conectan" los vectores en diferentes puntos y para ello se define una conexión que en el caso de ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{n}}$ puede representarse como un conjunto de coeficientes:

(2)${displaystyle {frac {{ar {partial }}mathbf {e} _{k}}{{ar {partial }}x^{i}}}:=sum _{m=1}^{n}Gamma _{ki}^{m}mathbf {e} _{m}}$

Los coeficientes ${displaystyle scriptstyle Gamma _{ji}^{k}}$ se llaman símbolos de Christoffel y definen localmente la conexión. Juntanto los resultados de (1) y (2) la derivada covariante parcial de un campo vectorial puede expresarse mediante:

(3a)${displaystyle abla _{i}mathbf {v} ={frac {{ar {partial }}mathbf {v} }{{ar {partial }}x^{i}}}=sum _{k=1}^{n}{frac {partial v^{k}}{partial x^{i}}}mathbf {e} _{k}+sum _{k=1}^{n}sum _{m=1}^{n}v^{k}Gamma _{ki}^{m}mathbf {e} _{m}}$

Usando el convenio de sumación de Einstein y renombrando los índices la expresión anterior puede escribirse simplemente como:

(3b)${displaystyle abla _{i}mathbf {v} =left({frac {dv^{k}}{dx^{i}}}+Gamma _{mi}^{k}v^{m} ight)mathbf {e} _{k}}$

La expresión entre paréntesis representa las componentes de la derivada covariante del vector contravariante ${displaystyle scriptstyle mathbf {v} }$. Análogamente dada una curva ${displaystyle scriptstyle tmapsto (x^{1}(t),dots ,x^{n}(t))}$ se define la derivada covariante temporal a lo largo de dicha curva como:

${displaystyle {frac {Dmathbf {v} }{Dt}}={dot {x}}^{i} abla _{i}mathbf {v} =left({frac {dv^{k}}{dx^{i}}}+Gamma _{mi}^{k}v^{m} ight){frac {dx^{i}}{dt}}mathbf {e} _{k}}$

La necesidad de la generalización de la derivada ordinaria en ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{n}}$ se aprecia cuando su usan coordandas curvilíneas como se ha dicho. Basta el movimiento de una partícula expresado en coordenadas cartesianas y luego el mismo movimiento expresado en coordenadas polares, por ejemplo, consideremos una masa puntual que se mueve a lo largo de la trayectoria recta por:

${displaystyle {egin{cases}x(t)=dcos heta _{0}-vtsin heta _{0}\y(t)=dsin heta _{0}+vtcos heta _{0}end{cases}}Rightarrow qquad qquad y(t)={frac {d-xcos( heta _{0})}{sin heta _{0}}}}$

Es decir, el punto se mueve con una velocidad ${displaystyle scriptstyle v}$ uniforme a lo largo de una recta, esto puede verse de manera sencilla, si se calculan las velocidades y las aceleraciones de la partícula:

${displaystyle {egin{cases}v^{x}={cfrac {dx}{dt}}=-vsin heta _{0}\v^{y}={cfrac {dy}{dt}}=+vcos heta _{0}end{cases}},qquad qquad {egin{cases}a^{x}={cfrac {dv^{x}}{dt}}={cfrac {partial v^{x}}{partial x}}{dot {x}}+{cfrac {partial v^{x}}{partial y}}{dot {y}}=0\a^{y}={cfrac {dv^{y}}{dt}}=0end{cases}}}$

Donde se ha usado la notación ${displaystyle scriptstyle {dot {x}}=dx/dt}$ y ${displaystyle scriptstyle {dot {y}}=dy/dt}$.

Ahora consideramos el cálculo de la aceleración en coordenadas polares. Como la partícula se mueve sobre una recta la distancia al origen y el ángulo polar estarán relacionados mediante la relación:

${displaystyle {egin{cases} ho (t)={sqrt {d^{2}+v^{2}t^{2}}}\ heta (t)= heta _{0}+arctan left({cfrac {vt}{d}} ight)end{cases}}Rightarrow qquad qquad ho (t)={frac {d}{cos( heta (t)- heta _{0})}}, ( heta _{0}-pi /2< heta < heta _{0}+pi /2)}$

Las coordenadas de la velocidad de la partícula en estas coordenadas pueden determinarse mediante cálculo directo o cambiando de base a partir de la componentes cartesianas:

${displaystyle v^{ ho }={dot { ho }}=vsin( heta - heta _{0}),qquad qquad v^{ heta }={dot { heta }}={frac {v}{ ho }}cos( heta - heta _{0})}$

Puesto que la partícula se mueve a velocidad constante el vector aceleración debería resultar nulo. De acuerdo a lo discutido anteriormente, las componentes del vector aceleración pueden obtenerse mediante las coordenadas covariantes:

${displaystyle {egin{cases}a^{ ho }={cfrac {Dv^{ ho }}{Dt}}={dot { ho }}left({cfrac {partial v^{ ho }}{partial ho }}+Gamma _{ ho ho }^{ ho }v^{ ho }+Gamma _{ ho heta }^{ ho }v^{ heta } ight)+{dot { heta }}left({cfrac {partial v^{ ho }}{partial heta }}+Gamma _{ heta ho }^{ ho }v^{ ho }+Gamma _{ heta heta }^{ ho }v^{ heta } ight)=\={dot { ho }}(0+0+0)+{dot { heta }}left(vcos( heta - heta _{0})+0- ho {cfrac {v}{ ho }}cos( heta - heta _{0}) ight)=0\a^{ heta }={cfrac {Dv^{ heta }}{Dt}}={dot { ho }}left({cfrac {partial v^{ heta }}{partial ho }}+Gamma _{ ho ho }^{ heta }v^{ ho }+Gamma _{ ho heta }^{ heta }v^{ heta } ight)+{dot { heta }}left({cfrac {partial v^{ heta }}{partial heta }}+Gamma _{ heta ho }^{ heta }v^{ ho }+Gamma _{ heta heta }^{ heta }v^{ heta } ight)=\{dot { ho }}left(-{cfrac {vcos( heta - heta _{0})}{ ho ^{2}}}+0+{cfrac {1}{ ho }}{cfrac {vcos( heta - heta _{0})}{ ho }} ight)+{dot { heta }}left(-{cfrac {vsin( heta - heta _{0})}{ ho }}+{cfrac {1}{ ho }}vsin( heta - heta _{0})+0 ight)=0end{cases}}}$

Es importante notar como en este caso las derivadas parciales ordinarias no coinciden con las componentes de la aceleración:

${displaystyle {egin{cases}a^{ ho } eq {cfrac {dv^{ ho }}{dt}}={cfrac {partial v^{ ho }}{partial ho }}{dot { ho }}+{cfrac {partial v^{ ho }}{partial heta }}{dot { heta }}\a^{ heta } eq {cfrac {dv^{ heta }}{dt}}={cfrac {partial v^{ heta }}{partial ho }}{dot { ho }}+{cfrac {partial v^{ heta }}{partial heta }}{dot { heta }}end{cases}}}$

Ya que en coordenadas polares los vectores de la base varían de punto a punto, y es por ello que sólo usando la derivada covariante se obtiene un vector de aceleración nulo tal como cabía esperar a partir del cálculo en coordenadas cartesianas.

En una variedad diferenciable o una hipersuperficie de ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{n}}$, por otra parte, el concepto de derivada direccional se define a partir del espacio tangente a cada punto. En el caso general al presentar la variedad o la hipersuperficie curvatura, los espacios tangentes de cada punto difiere del de los puntos cercanos y por tanto se necesita alguna manera de "conectar" o identificar vectores de diferentes espacios vectoriales, mediante una conexión sobre la variedad.

En una variedad riemanniana comúnmente se escoge una conexión (sin torsion) que sea compatible con la métrica, expresada por las componentes del tensor métrico ${displaystyle scriptstyle g_{mu u }}$, en el sentido de que:

${displaystyle abla _{alpha }g_{mu u }=0Rightarrow Gamma _{mu u }^{ ho }={frac {g^{ ho sigma }}{2}}left({frac {partial g_{sigma u }}{partial x^{mu }}}+{frac {partial g_{mu sigma }}{partial x^{ u }}}-{frac {partial g_{mu u }}{partial x^{sigma }}} ight)}$

En las secciones anteriores la discusión de la derivada covariante se ha limitado a un campo vectorial contravariante. Pero la derivada covariante puede extenderse a otros tipos de campos tensoriales definidos sobre una variedad de Riemann. Para extender la definición usa el hecho de que la derivada parcial de un escalar coincide con la derivada covariante parcial de dicho escalar, es decir:

${displaystyle abla _{eta }varphi :=partial _{eta }varphi ,}$

Así para calcular la derivada covariante parcial de una 1-forma ${displaystyle scriptstyle {oldsymbol { heta }}= heta _{alpha }dx^{alpha }}$ se considera su contracción con un campo vectorial contravariante y teniendo en cuenta que la derivada covariante en una derivación para la cual vale la regla del producto:

${displaystyle partial _{eta }( heta _{alpha }v^{alpha })= abla _{eta }( heta _{alpha }v^{alpha })=( abla _{eta } heta _{alpha })v^{alpha }+ heta _{alpha }( abla _{eta }v^{alpha })}$

Esto lleva a la siguiente relación entre componentes:

${displaystyle abla _{eta } heta _{alpha }={frac {d heta _{alpha }}{dx^{eta }}}-Gamma _{alpha eta }^{mu } heta _{mu }}$

Para un tensor de tipo (p,q) general se tendrá:

${displaystyle abla _{alpha }T_{delta _{1}dots delta _{m}}^{eta _{1}dots eta _{n}}={frac {partial T_{delta _{1}dots delta _{m}}^{eta _{1}dots eta _{n}}}{partial x^{alpha }}}+sum _{i}Gamma _{alpha ho }^{eta _{i}}T_{delta _{1}dots delta _{m}}^{eta _{1}dots ho dots eta _{n}}-sum _{i}Gamma _{alpha delta _{i}}^{ ho }T_{delta _{1}dots ho dots delta _{m}}^{eta _{1}dots eta _{n}}}$

En lo anterior se ha considerado la noción de derivada covariante de manera naturalista extendiendo a coordenadas curvilíneas la noción de derivada parcial, ese enfoque conduce a un operador de derivación covariante con las siguientes propiedades:

Otra posibilidad es definir una derivada covariante más formalmente es construir un operador que satisfaga por construcción las propiedades anteriores

---