Derivada funcional

En las matemática y la física teórica, la derivada funcional es una generalización de la derivada usual que se presenta en el cálculo de variaciones. En una derivada funcional, en vez de diferenciar una función con respecto a una variable, uno diferencia una funcional con respecto a una función.

Dos posibles, restringidas definiciones convenientes para ciertos cómputos se dan aquí. Hay definiciones más generales de derivadas funcionales. La primera de ellas es la derivada de Gâuteaux (que generaliza el concepto de derivada direccional a espacios Banach de dimensión infinita):

Para cualquier funcional ${displaystyle scriptstyle F}$ que aplica funciones ${displaystyle scriptstyle varphi :{mathcal {M}} o mathbb {R} ^{n}}$ definidas sobre una variedad ${displaystyle scriptstyle {mathcal {M}}}$ (nótese que el conjunto de estas funciones forma un espacio de Banach), entonces, la derivada funcional en el sentido de Gâteaux es una distribución tal que para todas las funciones de prueba (test) f:

(1)${displaystyle leftlangle {frac {delta F[varphi (x)]}{delta varphi (x)}},f(x) ight angle =left.{frac {d}{depsilon }}F[varphi +epsilon f] ight|_{epsilon =0}.}$

El límite anterior no tiene por qué existir, peor aún, aun cuando el límite existe puede depender de la función f escogida, por lo que la definición anterior debe entenderse más bien como una generalización de la derivada direccional, más que como una generalización del concepto de función diferenciable.

También se puede definir la derivada funcional en términos de un límite que involucra la delta de Dirac, δ:

(2)${displaystyle {frac {delta F[phi (x)]}{delta phi (y)}}=lim _{varepsilon o 0}{frac {F[phi (x)+varepsilon delta (x-y)]-F[phi (x)]}{varepsilon }}.}$

Las definiciones (1) y (2) no son equivalentes, ya que el resultado de la primera es siempre otro funcional, mientras que el resultado de la segunda definición es una distribución. Esto se ilustra con el siguiente ejemplo:

${displaystyle Eval_{x_{0}}[phi ]mapsto phi (x_{0})left[=int _{mathbb {R} }delta (x-x_{0})phi (x) dx ight]}$

Las derivadas en los dos sentidos anteriores vienen dadas por:

${displaystyle left({frac {delta Eval_{x_{0}}}{delta phi }} ight)_{[f]}=f(x_{0})qquad {frac {delta Eval_{x_{0}}[phi (x)]}{delta phi (y)}}=delta (x_{0}-y)}$

Si se considera una familia uniparamétrica de funciones suaves ${displaystyle psi _{lambda }:{mathcal {M}}longrightarrow mathbb {R} ^{n}}$ y se considera la función de una variable real construida a partir de un funcional:^[1]​

${displaystyle S_{lambda }=S[psi _{lambda }];}$

Y suponiendo que para toda familia como la anterior que satisfaga determinadas condiciones existen las siguientes derivadas:

${displaystyle delta psi =left.{frac {dpsi _{lambda }}{dlambda }} ight|_{lambda =0}qquad left.{frac {dS_{lambda }}{dlambda }} ight|_{lambda =0}=int _{mathcal {M}}chi delta psi d^{n}omega }$

En esas condiciones se define la derivada funcional como:

(*)${displaystyle left.{frac {delta S_{lambda }}{delta psi }} ight|_{psi _{0}}=chi }$

Nótese que se satisface la anterior ecuación entonces el funcional lineal permite aproximar hasta primer orden al funcional original ${displaystyle S;}$. Nótese también que la expresión (*) es una aplicación lineal jacobiana que generaliza en concepto de matriz jacobiana.