Diagrama de Penrose

En física teórica, al tratar de representar pictóricamente un espacio-tiempo surgen dos problemas:

Ambos problemas quedan solventados con los diagramas conocidos como diagramas conformes, diagramas de Penrose-Carter o simplemente diagramas de Penrose, diagramas bidimensionales que conservan la información sobre las relaciones causales entre diversos puntos del espacio-tiempo y permiten representar regiones infinitas en diagramas finitos.^[1]​ Para ello, sacrifican información sobre las distancias entre puntos. La métrica de los diagramas de Penrose-Carter es conformemente equivalente con una restricción bidimensional de la métrica real del espacio-tiempo que representan. El factor conforme es elegido de modo que todo el espacio-tiempo se proyecte en un diagrama de dimensiones finitas. La frontera de la nueva figura no formará parte del espaciotiempo original, pero permitirá estudiar sus propiedades asintóticas y sus singularidades.

Llamado así en homenaje al físico matemático Roger Penrose, por usarlos por vez primera en 1962^[2]​ y a su colega Brandon Carter, que los sistematizó en 1966,^[3]​un diagrama de Penrose-Carter comparte varias características con el espacio-tiempo de Minkowski: las líneas oblicuas a 45° corresponden a trayectorias luminosas, la dimensión vertical representa una coordenada temporal y la horizontal a las dimensiones espaciales.

Para representar el diagrama conforme de un espacio de Minkowski, podemos pensar en la expresión de su métrica plana en coordenadas esféricas, y restringirnos a la subvariedad cubierta por las coordenadas r y t. Estas coordenadas abarcan un rango infinito. Un primer intento de conseguir que cubran un rango finito sería usar las nuevas coordenadas ${displaystyle T=arctgt}$ y ${displaystyle r=arctgr}$. Pero esto no conseguiría mantener los conos de luz de nuestro diagrama a 45º. Para conseguirlo, se realiza un triple cambio de coordenadas:

La métrica en estas coordenadas queda expresada por:^[4]​

${displaystyle ds^{2}={frac {1}{omega (T,R)^{2}}}(-dT^{2}+dR^{2}+operatorname {sen} ^{2}RdOmega ^{2})}$

donde

En lugar de esta métrica, que llamaremos ${displaystyle g_{0}}$, en el diagrama de Penrose representaremos la métrica conforme ${displaystyle omega ^{2}g_{0}}$. Como las coordenadas abarcan los rangos: ${displaystyle -pi <R+T<pi ,,;-pi <R-T<pi }$, el diagrama tendrá forma de diamante (o de triángulo si se añade la condición de que R sea positivo).

La figura muestra la representación de un espacio de Schwarzschild correspondiente a un agujero negro estático (sin rotación). La coordenada vertical llamada « u » es la temporal, mientras que la coordenada horizontal « v » es espacial. El diagrama de Penrose es conforme, es decir que las geodésicas de género nulo (líneas de luz) corresponden a las media-primera y segunda bisectrices « altas ».

De este sistema de coordenadas derivado del de Kruskal se tiene:

${displaystyle ds^{2}={frac {32M^{3}}{r}}{frac {e^{-{frac {r}{2M}}}(-du^{2}+dv^{2})}{4cos ^{2}{frac {1}{2}}(u+v)cos ^{2}{frac {1}{2}}(u-v)}}+r^{2}(d heta ^{2}+sin ^{2} heta dphi ^{2})}$

El diagrama hecho entonces por abstracción de dos coordenadas esféricas ${displaystyle heta }$ y ${displaystyle phi }$. Los conos de luz delimitados por las geodésicas nulas (ds² = 0) correspondiente a du² = dv², entonces {u = v} ou {u = -v}, es decir, las bisectrices primera y segunda.

Partiendo de la izquierda, dos rectas (primera y segunda bisectrices) divergen : la recta de abajo , llamada I-, representa « lo infinito del pasado », de ésta provienen todos los móviles desde lo infinitamente lejano ; la recta de arriba, I+, corresponde al « infinito del futuro », y representa el lugar hacia donde se dirigen todos los móviles que se distancia luego de un agujero negro. Las dos rectas horizontales y paralelas representan la singularidad (en el pasaje del pasado al futuro), situado en r = 0. este diagrama es simétrico por relación con la vertical. En línea discontinua está representado el horizonte de un agujero negro ubicado (en unidades convencionales) en r = 2M.