Singularidad espaciotemporal

Una singularidad gravitacional o espaciotemporal, de modo informal y desde un punto de vista físico, puede definirse como una zona del espacio-tiempo donde no se puede definir alguna magnitud física relacionada con los campos gravitatorios, tales como la curvatura, u otras. Numerosos ejemplos de singularidades aparecen en situaciones realistas en el marco de la relatividad general en soluciones de las ecuaciones de Einstein,^[1]​ entre los que cabe citar la descripción de agujeros negros (como puede ser la métrica de Schwarzschild) o a la descripción del origen del universo (métrica de Robertson-Walker).

Desde el punto de vista matemático, adoptar una definición de singularidad puede ser complicado,^[2]​pues si pensamos en puntos en que el tensor métrico no está definido o no es diferenciable, estaremos hablando de puntos que automáticamente no pertenecen al espacio-tiempo. Para definir una singularidad debemos buscar las huellas que estos puntos excluidos dejan en el tejido del espaciotiempo. Podemos pensar en varios tipos de comportamientos extraños:^[3]​

Las singularidades pueden ser, en sus aspectos más generales:

Geométricamente las singularidades físicas pueden ser:

Según su carácter las singularidades físicas pueden ser:

Según la visibilidad para observadores asintóticamente inerciales alejados de la región de agujero negro (espacio-tiempo de Minkowski) éstas pueden ser:

Los teoremas sobre singularidades, debidos a Stephen Hawking y Roger Penrose, predicen la ocurrencia de singularidades bajo condiciones muy generales sobre la forma y características del espacio-tiempo.^[4]​

El primero de los teoremas, que se enuncia a continuación, parece aplicable a nuestro universo; informalmente afirma que si tenemos un espacio-tiempo globalmente hiperbólico en expansión, entonces el universo empezó a existir a partir de una singularidad (Big Bang) hace un tiempo finito:

Teorema 1. Sea (M,g) un espacio tiempo globalmente hiperbólico que cumple ${displaystyle scriptstyle R_{ab}xi ^{a}xi ^{b}geq 0}$ para todos los vectores temporales ${displaystyle scriptstyle xi ^{a}}$ (tal como sucedería si las ecuaciones de campo de Einstein se satisfacen, cumpliéndose la condición fuerte de la energía para la materia). Supongamos que existe una hipersuperficie de Cauchy espacial Σ (y de clase al menos C²) para la cual la traza de la curvatura intrínseca satisface K < C < 0, donde C es una cierta constante. Entonces ninguna curva temporal partiendo de Σ y dirigida hacia el pasado puede tener una longitud mayor que ${displaystyle scriptstyle 3/|C|}$. En particular, todas las geodésicas temporales hacia el pasado son incompletas.

El teorema anterior por tanto es el enunciado matemático que bajo las condiciones observadas en nuestro universo, en el que es válida la ley de Hubble, y admitiendo la validez de la teoría de la Relatividad general el universo debió empezar en algún momento.

El siguiente teorema relaciona la ocurrencia de "superficies atrapadas" con la presencia de singularidades. Puesto que en un agujero negro de Schwarzschild, y presumible agujeros con geometrías similares, ocurren superficies atrapadas, el siguiente teorema predice la ocurrencia de singularidades en el interior de una clase muy amplia de agujeros negros. Una superficie atrapada una variedad riemanniana de dos dimensiones compacta que tiene la propiedad de que tanto su futuro causal como su pasado causal tiene en todo punto una expansión negativa. No es complicado probar que cualquier esfera, de hecho cualquier superficie cerrada contenida en una esfera, dentro de la región de agujero negro de un espacio-tiempo de Schwarzschild es una superficie atrapada, y por tanto en dicha región debe aparecer una singularidad. El enunciado de este teorema, debido a Roger Penrose (1965), es el siguiente:

Teorema 2. Sea (M,g) un espacio-tiempo globalmente hiperbólico en el que ${displaystyle scriptstyle R_{ab}k^{a}k^{b}geq 0}$ para todos los vectores de tipo luz ${displaystyle scriptstyle k^{a}}$ (tal como sucedería si las ecuaciones de campo de Einstein se satisfacen cumpliéndose la condición fuerte o la condición débil de la energía, para la materia de dicho espacio-tiempo). Supongamos que existe una hipersuperficie de Cauchy espacial Σ (y de clase al menos C²) y una superficie atrapada y sea θ₀ el valor máximo de la expansión sobre ella, si θ₀ < 0; entonces existe al menos una geodésica de tipo luz, inextendible hacia el futuro, que además será ortogonal a la superficie atrapada. Además el valor de parámetro afín hasta el punto a partir del cual no es extensible es inferior a ${displaystyle scriptstyle 2/| heta _{0}|}$ .

La existencia de una geodésica de tipo luz inextensible, implica que existirá un fotón que saliendo de dicha superficie tras un tiempo de viaje proporcional a 2/c|θ₀| se topará con una singularidad temporal futura. Aunque desconocemos la naturaleza física real de las singularidades por carecer de una teoría cuántica de la gravedad el fotón o bien "desaparecerá" o bien experimentará algún fenómeno asociado a dicha teoría de la gravedad cuántica cuya naturaleza desconocemos. Además de poder neutralizar una singularidad en su más mínimo tamaño con una fuerza equivalente o superior a dicha singularidad y una vez con esa fuerza intentando revertir el sentido de la fuerza gravitatoria se necesita una fusión (nuclear) dentro del núcleo antes de ser absorbido.

Para la cual, la traza de la curvatura intrínseca satisface K < C < 0, donde C es una cierta constante. Entonces ninguna curva temporal partiendo de Σ y dirigida hacia el pasado puede tener una longitud mayor que 3/|C|. En particular, todas las geodésicas temporales hacia el pasado son incompletas.

Aunque sin ser estrictamente teoremas de singularidades existen una colección de resultados probados por Hawking (1971) que establecen que, en el marco de la teoría general de la relatividad:

Los teoremas anteriores son importantes porque garantizan, que aun en situaciones reales donde los cálculos exactos resultan complicados o imposibles, las propiedades topológicas de un espacio-tiempo que contiene agujeros negros garantizan ciertos hechos, por complicada que sea la geometría. Naturalmente sabemos que en una teoría cuántica de la gravedad los dos primeros resultados, probablemente no se mantienen. El propio Hawking sugirió que la emisión de radiación Hawking es un proceso mecano-cuántico a través del cual un agujero negro podría perder área o evaporarse; por lo que, los resultados anteriores son sólo las predicciones de la teoría general de la relatividad.

La descripción del espacio-tiempo y de la materia que hace la teoría de la relatividad general de Einstein no puede describir adecuadamente las singularidades. De hecho, la teoría general de la relatividad sólo da una descripción adecuada de la gravitación y espacio-tiempo a escalas mayores que la longitud de Planck l_P:

Donde: ${displaystyle hbar }$ es la constante de Planck reducida, ${displaystyle G,}$ constante de gravitación universal, ${displaystyle c,}$ es la velocidad de la luz.

De ese límite cuántico se debe esperar que igualmente la teoría de la relatividad deje de ser adecuada cuando predice una curvatura espacial del orden de l_P^-2 cosa que sucede muy cerca de las singularidades de curvatura como las existentes dentro de los diversos tipos de agujeros negros.

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