Dimensión de un espacio vectorial

La dimensión de un espacio vectorial (también llamada dimensión de Hamel de un espacio vectorial, para distinguirla de la dimensión de Hilbert en el caso de los espacios de Hilbert) es el número de vectores que forman una base [de Hamel] del espacio vectorial.

Dado un espacio vectorial pueden considerarse conjuntos de vectores S de un espacio vectorial V y se puede examinar si poseen algunas de estas propiedades:

${displaystyle lambda _{1}v_{1}+lambda _{2}v_{2}+dots +lambda _{n}v_{n}=0Rightarrow lambda _{1}=lambda _{2}=lambda _{n}=dots =0,quad v_{i}in S,lambda _{i}in mathbf {K} }$

${displaystyle xin LLeftrightarrow exists mu _{1}dots mu _{n}:x=mu _{1}v_{1}+dots mu _{n}v_{n},quad v_{i}in S,mu _{i}in mathbf {K} }$

Un conjunto que sea linealmente independiente (1) y generador del espacio vectorial (2) se dice que es una base vectorial. Puede demostrarse que todas las bases de un espacio vectorial son conjuntos con el mismo número de elementos (es decir, conjuntos que tienen el mismo cardinal). Y el número común de elementos de una base cualquiera es precisamente la dimensión del espacio vectorial.

Nótese un hecho importante, si se cambia el cuerpo de los escalares, de ${displaystyle mathbb {R} }$ a ${displaystyle mathbb {C} }$, entonces el mismo punto M será determinado por el complejo z_M =x + yi, es decir por un solo parámetro.

La dimensión de P es 1 sobre ${displaystyle mathbb {C} }$ y dos sobre ${displaystyle mathbb {R} }$:

${displaystyle {egin{matrix}dim _{mathbb {C} }P&=&1\dim _{mathbb {R} }P&=&2end{matrix}}}$

Un plano real es por lo tanto una recta compleja. La apelación plano complejo para designar un plano real con escritura compleja de las coordenadas ( x + yi en vez de (x; y) ) es errónea, pero muy común.

El espacio ambiente es tridimensional y se requiere por lo tanto tres reales (x, y, z) para definir un punto. No se le puede considerar como un espacio sobre ${displaystyle mathbb {C} }$.

En la teoría de la relatividad, se añade una cuarta variable: el tiempo, y un punto (x, y, z, t) de este espacio cuadridimensional corresponde a un evento o acontecimiento (las coordenadas nos dicen donde y cuando ocurrió).

En algunas teorías actuales, los físicos trabajan en un modelo del espacio con once dimensiones, pero sobre el conjunto de los enteros, y no los reales. Como el conjunto ${displaystyle mathbb {Z} }$ de los enteros no es un cuerpo sino un anillo, el espacio no es vectorial (se dice que es un módulo). Sin embargo, la definición de la dimensión es válida en tales espacios. En este ejemplo, la mayoría de las dimensiones son enrolladas sobre sí mismas, como una serpiente que se muerde la cola. Su curvatura es enorme, pues su radio es microscópico, menor que el de un núcleo. Los espacios vectoriales no tienen curvatura.

Más formalmente la dimensión de un espacio vectorial se define como el cardinal de una base vectorial para dicho espacio. Por el axioma de elección todo espacio tiene una base (incluso el espacio {0}, ya que el vacío es una base), y puesto que puede demostrarse que todas las bases vectoriales tienen el mismo cardinal, el concepto de dimensión está bien definido. Conviene notar que existen espacios vectoriales tanto de dimensión finita como de dimensión infinita (el espacio vectorial de los polinomios de una variable, por ejemplo tiene dimensión ${displaystyle aleph _{0}}$.

La dimensión de un espacio coincide además con los dos cardinales siguientes:

La definición sigue siendo la misma en el caso de un subespacio, pero existe un método particular de calcularla cuando el subespacio es definido como espacio generado por sistema de vectores. Veámoslo en un ejemplo. En el espacio ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$, sean los vectores:

${displaystyle {vec {u}}{egin{pmatrix}1\3\-2end{pmatrix}},{vec {v}}{egin{pmatrix}-2\1\3end{pmatrix}},{vec {w}}{egin{pmatrix}-3\5\4end{pmatrix}}{mbox{ y }}{vec {n}}{egin{pmatrix}4\5\-7end{pmatrix}}}$

Cuatro vectores no pueden ser independientes en ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$, por lo tanto tienen que existir relaciones de dependencia:

lo que se puede escribir en forma matricial :

Llamemos A a la matriz anterior, y X el vector columna. Esta relación significa que el vector X pertenece al núcleo de A, que se nota Ker A (del alemán Kern, núcleo). El espacio generado es el conjunto de los

es decir de los A·X: es la imagen de A.

Resulta intuitivo que cuanto mayor es el núcleo, menor es la imagen, en términos de dimensiones. Concretamente, si llamamos rango de A a la dimensión de su imagen: rg A = dim (Im A), tenemos la relación:

Busquemos dim (Ker A):

${displaystyle left{{egin{matrix}(I)&x-2y-3z+4t=0\(II)&3x+y+5z+5t=0\(III)&-2x+3y+4z-7t=0end{matrix}} ight.Leftrightarrow left{{egin{matrix}(I)&x-2y-3z+4t=0\(IV)=(II)-3(I)&7y+14z-7t=0\(V)=(III)+2(I)&-y-2z+t=0end{matrix}} ight.}$

${displaystyle Leftrightarrow left{{egin{matrix}(I)&x-2y-3z+4t=0\(IV)/7&y+2z-t=0\-(V)&y+2z-t=0end{matrix}} ight.}$

Quedan dos ecuaciones no proporcionales, por lo tanto independientes, y cada una resta 1 a la dimensión, que vale inicialmente 4. Resulta que dim (Ker A ) = 2. Se puede constatarlo de otra manera: Las dos ecuaciones permiten expresar y,luego x en función de z y t, por consiguiente solo quedan dos variables libres, y la dimensión es 2.

Aplicando la fórmula : rg A = 4 - 2 = 2. El subespacio es un plano.

Si U₁ y U₂ son subespacios de un espacio vectorial de dimensión finita, se cumple:

${displaystyle {mbox{dim}}(U_{1}+U_{2})={mbox{dim}} U_{1}+{mbox{dim}} U_{2}-{mbox{dim}}(U_{1}cap U_{2})}$

satisface ${displaystyle scriptstyle mathrm {dim} _{mathbb {K} }left(mathbb {K} ^{n} ight)=n}$.

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