Cuerpo (matemática)

En álgebra abstracta, un cuerpo (a veces llamado campo como traducción de inglés field) es un sistema algebraico^[1]​ en el cual las operaciones llamadas adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades: asociativa, conmutativa y distributiva de la multiplicación respecto de la adición,^[2]​ además de la existencia de inverso aditivo, de inverso multiplicativo y de un elemento neutro para la adición y otro para la multiplicación, los cuales permiten efectuar las operaciones de sustracción y división (excepto la división por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmética de números racionales.

Los cuerpos son estructuras algebraicas importantes de estudio en diversas ramas de las matemáticas puras: álgebra abstracta, análisis matemático, teoría de números, geometría, topología, física matemática, etc.; puesto que proporcionan generalizaciones apropiadas de operaciones binarias en conjuntos y sistemas de números tales como los conjuntos de números racionales, números reales y números complejos.

El concepto de un cuerpo se usa, por ejemplo, al definir y construir formalmente un espacio vectorial y las transformaciones en estos objetos, dadas por matrices, objetos en el álgebra lineal cuyos componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario. La teoría de Galois estudia las relaciones de simetría en las ecuaciones algebraicas, desde la observación del comportamiento de sus raíces y las extensiones de cuerpos correspondientes y su relación con los automorfismos de cuerpos correspondientes.

Un cuerpo es un anillo de división conmutativo, es decir, un anillo conmutativo y unitario en el que todo elemento distinto de cero es invertible respecto del producto. Por tanto un cuerpo es un conjunto K en el que se han definido dos operaciones, + y ·, llamadas adición y multiplicación respectivamente, que cumplen las siguientes propiedades:

K es cerrado para la adición y la multiplicación

Asociatividad de la adición y la multiplicación

Conmutatividad de la adición y la multiplicación

Existencia de un elemento neutro para la adición y la multiplicación

Existencia de elemento opuesto y de inversos:

Distributividad de la multiplicación respecto de la adición

El requisito a ≠ 0 asegura que el conjunto que contiene solamente un cero no sea un cuerpo, y de paso elimina la posibilidad de que en el cuerpo existan divisores de cero distintos de 0, lo que lo convierte también en un dominio de integridad. Directamente de los axiomas, se puede demostrar que (K, +) y (K - { 0 }, ·) son grupos conmutativos y que por lo tanto (véase la teoría de grupos) el opuesto -a y el inverso a^-1 son determinados únicamente por a. Además, el inverso de un producto es igual al producto de los inversos:

con tal que a y b sean diferentes de cero. Otras reglas útiles incluyen

y más generalmente

así como

todas reglas familiares de la aritmética elemental.

Sintéticamente, Un anillo P se llama cuerpo, si consta no solo del cero y en él es posible la división en todos los casos (salvo la división por cero), determinándose esta unívocamente, esto es, si para cualquier elemento m y n de P, de los cuales n es diferente de cero, existe en P un elemento q, y solo uno, que cumple la igualdad nq = m. El elemento q se denomina cociente de los elementos m y n y se denota q = m/n.^[3]​

El campo resulta (un) como un híbrido de dos campos abeliano, uno aditivo y otro multiplicativo, ligados por la ley distributiva, que basta una presentación por gozar de la propiedad conmutativa la multiplicación. El producto CD^-1 se escribe en notación fraccionaria como c/d. La fracción c/d está determinada sólo cuando d ≠ 0, es la única solución de la ecuación dt = c.^[5]​

Se consideran los elementos identidades:

Los números racionales es un cuerpo de números que incluye un subjconjunto isomorfo a los números enteros, que por abuso de notación también se designa como ${displaystyle mathbb {Z} }$. Todo número racional puede representarse por un conjunto de fracciones, pero el conjunto de los racionales no debe identificarse con el conjunto de las fracciones (ya que 1/2 y 2/4 son dos fracciones diferentes que representan el mismo número real). Para definir los racionales debe considerarse una relación de equivalencia sobre el conjunto de las fracciones:

${displaystyle F=left{{a over b}|a,bin mathbb {Z} ,b eq 0 ight}}$

La relación de equivalencia entre dos fracciones a/b y c/d están relacionadas si ad = bc, es decir:

${displaystyle {frac {a}{b}} hicksim {frac {c}{d}}iff ad=bc}$

En esas condiciones el conjunto de los racionales es el conjunto de clases de equivalencia en que el conjunto de las fracciones queda dividido ${displaystyle mathbb {Q} =F/ hicksim }$.

Los números racionales no forman un cuerpo algebraicamente cerrado, un importante teorema de la teoría de cuerpos demuestra la existencia de un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene al primero (estrictamente un conjunto isomorofo). Dado que los racionales no son algebraicamente cerrados, existe y puede construirse su clausura algebraica ${displaystyle mathbb {A} }$, este conjunto se denomina cuerpo de los números algebraicos, puede demostrarse que:

${displaystyle mathbb {Q} subsetneq mathbb {A} subsetneq mathbb {C} ,qquad mathbb {A} subseteq mathbb {R} }$

Los números complejos contienen tanto al cuerpo de números algebraicos como a los números reales. Sin embargo los reales no contienen a los algebraicos ya que por ejemplo ${displaystyle i={sqrt {-1}}in mathbb {A} }$. Además puede demostrarse que los números racionales y los números algebraicos son conjuntos numerables mientras que los reales y los complejos no lo son:

${displaystyle { ext{card}} mathbb {Q} ={ ext{card}} mathbb {A} =aleph _{0}<{ ext{card}} mathbb {R} ={ ext{card}} mathbb {C} =aleph _{1}}$

Los números reales ${displaystyle mathbb {R} }$ con las operaciones usuales forman un cuerpo.

Los números hiperreales forman un cuerpo que contiene los reales, más los números infinitesimales e infinitos. Los números surreales forman un cuerpo que contiene los reales, a excepción del hecho de que son una clase propia, no un conjunto. El conjunto de todos los números surreales con el cumpleaños menor que un cierto cardinal inaccesible es un cuerpo.

Los números reales contienen varios subcuerpos interesantes: los números reales algebraicos, los números computables, y los números definibles.

Los números complejos ${displaystyle mathbb {C} }$ consisten en expresiones del tipo

donde i es la unidad imaginaria, i.e., un número (no real) que satisface i² = −1. Adición y multiplicación de los números reales son definidos de tal manera para que todos los axiomas del cuerpo se cumplen para C. Por ejemplo, la ley distributiva cumple

Los números racionales se pueden ampliar a los cuerpos de números p-ádicos para cada número primo p.

El cuerpo más pequeño tiene solamente dos elementos: 0 y 1. Se denota por ${displaystyle {mathbb {F} }_{2}}$ o ${displaystyle {mathbb {Z} }_{2}}$ y a veces puede definirse mediante las dos tablas

Tiene aplicaciones importantes en informática, especialmente en álgebra de Boole, criptografía y teoría de la codificación.

Más generalmente, para un número primo ${displaystyle p}$, el conjunto de los números enteros módulo ${displaystyle p}$ es un cuerpo finito con los ${displaystyle p}$ elementos: esto se escribe a menudo como ${displaystyle {mathbb {Z} }_{p}={0,1,...,p-1}}$ donde las operaciones son definidas realizando la operación en ${displaystyle mathbb {Z} }$, dividiendo por ${displaystyle p}$ y tomando el resto, ver aritmética modular.

Para un cuerpo dado K, el conjunto K(X) de funciones racionales en la variable X con coeficientes en K es un cuerpo; esto se define como el conjunto de cocientes de polinomios con coeficientes en K.

Si K es cuerpo, y p(X) es un polinomio irreducible en un anillo de polinomios F[X], entonces el cociente F[X]/<p(X)> es un cuerpo con un subcuerpo isomorfo a K. Por ejemplo, R[X]/(X²+1) es un cuerpo (de hecho, es isomorfo al cuerpo de los números complejos).

Cuando K es un cuerpo, el conjunto K[[X]] de series formales de Laurent sobre K es un cuerpo.

Si V es una variedad algebraica sobre K, entonces las funciones racionales V → K forman un cuerpo, el cuerpo de funciones V. Si S es una superficie de Riemann, entonces las funciones meromorfas de S → C forman un cuerpo.

Si I es un conjunto de índices, U es un ultrafiltro sobre I, y K_i es un cuerpo para cada i en I, el ultraproducto de K_i (usando U) es un cuerpo.

Sean E y K dos cuerpos con E un subcuerpo de K (es decir, un subconjunto de K que contiene 0 y 1, cerrado bajo las operaciones + y * de K y con sus propias operaciones definidas por restricción). Sea x un elemento de K no en E. Entonces E(x) se define como el subcuerpo más pequeño de K que contiene a E y a x. Por ejemplo, Q(i) es el subcuerpo de los números complejos C que consisten en todos los números de la forma a+bi donde a y b son números racionales.

Si un subconjunto E de un cuerpo (K,+,·) junto con las operaciones ·, + restringido a E es en sí mismo un cuerpo, entonces se llama un subcuerpo de K. Tal subcuerpo tiene los mismos 0 y 1 que K.

Sea ${displaystyle (K,+,cdot )}$ un cuerpo, y ${displaystyle Esubset K}$. Se dice que ${displaystyle E}$ es subcuerpo de ${displaystyle K}$ o que ${displaystyle K}$ es extensión de ${displaystyle E}$ si se cumple que ${displaystyle (E,+,cdot )}$ es un cuerpo cuando las operaciones ${displaystyle (+)}$ y ${displaystyle (cdot )}$ se restringen a ${displaystyle E}$. En particular, ${displaystyle E}$ será entonces un subanillo de ${displaystyle (K,+,cdot )}$. Se tiene entonces que ${displaystyle (E,+)}$ y ${displaystyle (Esetminus {0},cdot )}$ son subgrupos respectivos de los grupos abelianos ${displaystyle (K,+)}$ y ${displaystyle (Ksetminus {0},cdot )}$.

Como todo cuerpo es un anillo, podríamos preguntarnos por la forma que tengan sus ideales. Para empezar, como todo cuerpo es anillo conmutativo, todo ideal por la izquierda es ideal (bilátero) y todo ideal por la derecha es también ideal (bilátero). Así pues solo hemos de estudiar los ideales del cuerpo.

Si ${displaystyle I}$ es ideal del cuerpo ${displaystyle K}$, entonces todo elemento no nulo ${displaystyle ain K}$ ha de tener inverso, ${displaystyle a^{-1}in K}$, luego ${displaystyle a}$ es una unidad de ${displaystyle K}$ [esto es, ${displaystyle ain U(K)}$], y se tendrá que ${displaystyle Icap U(K) eq varnothing }$, es decir, ${displaystyle I=K}$. De esta manera, los únicos ideales de un cuerpo son el propio cuerpo y el ideal nulo.

Dado un anillo ${displaystyle {mathcal {A}}}$, que además sea un dominio de integridad, se denomina cuerpo de fracciones^[6]​ de ${displaystyle {mathcal {A}}}$ al cuerpo formado por el cociente del conjunto ${displaystyle {mathcal {A}} imes {mathcal {A}}^{*}}$ (donde ${displaystyle {mathcal {A}}^{*}}$ denota el conjunto de elementos de ${displaystyle {mathcal {A}}}$ distintos de cero) bajo la relación de equivalencia ${displaystyle {mathcal {R}}}$ definida por:

junto con las operaciones

El par ${displaystyle (a,b)}$ se suele representar como ${displaystyle {frac {a}{b}}}$, y el cuerpo de fracciones se denota como ${displaystyle Q({mathcal {A}})}$. El cuerpo de los números racionales se obtiene de esta manera a partir del anillo de los enteros, siendo las operaciones suma y producto generalizaciones de los usuales para aquel conjunto numérico.

El cuerpo de fracciones de un anillo es, salvo isomorfismo, el menor cuerpo que contiene a dicho anillo: si ${displaystyle mathbb {F} }$ es un cuerpo que contiene a un anillo ${displaystyle {mathcal {A}}}$, entonces ${displaystyle {mathcal {A}}subset Q({mathcal {A}})subseteq mathbb {F} }$. En particular, ${displaystyle Q(mathbb {F} )=mathbb {F} }$.^[7]​

La construcción del cuerpo de funciones se puede generalizar a anillos conmutativos arbitarios para formar anillos de fracciones, pero en este caso el conjunto ${displaystyle {mathcal {D}}}$ de denominadores permitidos (en lugar de ${displaystyle {mathcal {A}}^{*}}$) debe ser un subconjunto cualquiera no vacío, que no contenga al cero ni a divisores de cero, y que sea cerrado bajo multiplicación. El anillo resultante no es un cuerpo, pero todo elemento de ${displaystyle {mathcal {D}}}$ es una unidad en dicho anillo.^[8]​

Dado un dominio de integridad ${displaystyle {mathcal {A}}}$, con cuerpo de fracciones ${displaystyle mathbb {K} }$, el anillo de polinomios en ${displaystyle n}$ indeterminadas ${displaystyle {mathcal {A}}[X_{1},...,X_{n}]}$ es a su vez un dominio de integridad. Podemos entonces aplicar la construcción anterior a este anillo de polinomios para obtener el cuerpo de fracciones ${displaystyle Q({mathcal {A}}[X_{1},...,X_{n}])}$.

Análogamente se puede construir el cuerpo de fracciones del anillo de polinomios en ${displaystyle n}$ indeterminadas ${displaystyle mathbb {K} [X_{1},...,X_{n}]}$, que toman coeficientes en ${displaystyle mathbb {K} }$. Ambos cuerpos de fracciones coinciden; se denomina a este como cuerpo de funciones racionales en n indeterminadas con coeficientes en ${displaystyle mathbb {K} }$, y se denota por ${displaystyle mathbb {K} (X_{1},...,X_{n})}$.^[9]​

En consecuencia, ${displaystyle mathbb {K} (X_{1},...,X_{n})}$ está formado por los cocientes de polinomios

${displaystyle mathbb {K} (X_{1},...,X_{n})=left{{frac {P(X_{1},...,X_{n})}{Q(X_{1},...,X_{n})}}{Big |} P,Qin mathbb {K} [X_{1},...,X_{n}],Q eq 0 ight}/{mathcal {R}}}$

donde:

Una extensión algebraica de un cuerpo K es el cuerpo más pequeño que contiene a K y una raíz de un polinomio irreducible p(X) en K [X]. Alternativamente, es idéntico al anillo factor K [X]/(p(X)), donde (p(X)) es el ideal generado por p(X).

Un cuerpo ordenado es un cuerpo en el que se puede definir una relación de orden que sea compatible con las operaciones de cuerpo, es decir:

Los racionales ${displaystyle mathbb {Q} }$ y los reales ${displaystyle mathbb {R} }$ son cuerpos ordenados, en cambio en los complejos ${displaystyle mathbb {C} }$ no es posible definir un orden compatible con las operaciones de grupo (si i > 0 se sigue que -1 > 0, si i < 0 se sigue que (-i)(-i) = -1 > 0).

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