Dimensión fractal

En geometría de fractales, la dimensión fractal, ${displaystyle scriptstyle D}$ es un número real que generaliza el concepto de dimensión ordinaria para objetos geométricos que no admiten espacio tangente.

La dimensión fractal es un exponente que da cuenta de cuán completamente parece llenar un fractal el espacio conforme se amplía el primero hacia escalas más y más finas. No existe una única dimensión fractal sino una serie de dimensiones que, frecuentemente, resultan equivalentes aunque no siempre. Entre estas definiciones está la dimensión de Hausdorff-Besicovitch, la dimensión de la dimensión de empaquetamiento, la dimensión de homotecia y las dimensiones de Rényi. Ninguna de estas dimensiones debería ser tratada como universal, ya que a veces la discrepancia entre ellas está asociada a diferencias en la estructura interna del fractal. Aunque para un buen número de fractales clásicos los valores de las diferentes definiciones de dimensión fractal todas estas dimensiones coinciden, en general no son equivalentes.

En la práctica algunas definiciones de dimensión fractal resultan más sencillas de calcular, y por eso son más ampliamente usadas, aunque no siempre tienen las propiedades matemáticas más deseables. Por ejemplo la dimensión de conteo de cajas o de dimensión Minkowski-Bouligand y la dimensión de correlación son ampliamente usadas en la práctica, por su fácil implementación algorítmica.

Por ejemplo, la dimensión del copo de nieve de Koch tiene una dimensión topológica de uno, pero no puede ser tratada como una curva; la longitud entre cualesquiera dos puntos en el fractal (dada por la medida de Lebesgue) es infinita. Ningún segmento del fractal tiene parecido a una línea, pero tampoco tiene parecido a una parte de un plano. En cierta forma se podría decir que es demasiado grande para poder ser considerada como un objeto unidimensional, pero es demasiado fina para ser considerada un objeto bidimensional. Esto lleva a la pregunta de si su dimensión se describe mejor con un número entre uno y dos. Ésta es una manera simple de motivar la idea de dimensión fractal.

Hay principalmente dos formas aproximadas para generar una estructura fractal. Una es hacerla crecer a partir de un objeto y la otra es construir las divisiones subsecuentes de una estructura original como en el triángulo de Sierpinski (Fig.(2)).^[1]​ En este caso se sigue la segunda aproximación para definir la dimensión de las estructuras fractales.

Si se toma un objeto con un tamaño lineal igual a 1 en una dimensión euclidiana ${displaystyle D}$, y se reduce su tamaño por un factor de ${displaystyle 1/l}$ en cada dirección espacial, se necesitan un número ${displaystyle N=l^{D}}$ de objetos autosimilares para cubrir el objeto original (Fig.(1)). Sin embargo, al despejar para D, la dimensión definida por

${displaystyle D_{Hom}={frac {log N(l)}{log l}}}$ .

es igual todavía a su dimensión topológica o euclidiana.^[2]​ Aplicando la ecuación anterior a una estructura fractal, se puede obtener la dimensión de la misma (que es más o menos la dimensión de Minkowski-Bouligand) como un número no entero, como se esperaba.

${displaystyle D_{MB}=lim _{varepsilon ightarrow 0}{frac {log N(varepsilon )}{log {frac {1}{varepsilon }}}},}$

donde ${displaystyle N(varepsilon )}$ es el número de estructuras autosimilares de lado lineal ε que se necesitan para cubrir toda la estructura.

Por ejemplo, la dimensión fractal para el triángulo de Sierpinski (Fig.(2)) está dado por,

${displaystyle D_{H}=lim _{epsilon ightarrow 0}{frac {log N(epsilon )}{log left({frac {1}{epsilon }} ight)}}=lim _{k ightarrow infty }{frac {log 3^{k}}{log 2^{k}}}={frac {log 3}{log 2}}approx 1,585.}$

Otras cantidades dimensionales incluyen la «dimensión de información» que considera cómo se escala la información promedio que se necesita para identificar una caja ocupada, conforme las cajas se vuelven más pequeñas:

${displaystyle D_{1}=lim _{varepsilon ightarrow 0}{frac {-langle log p_{varepsilon } angle }{log {frac {1}{varepsilon }}}}}$

La dimensión de correlación es quizá la más fácil de calcular. Para ello se genera un gran número ${displaystyle scriptstyle N}$ de puntos al azar sobre una región del espacio euclídeo ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{n}}$ que contenga al objeto fractal ${displaystyle scriptstyle {mathcal {F}}}$. Siendo el conjunto de puntos generados al azar el conjunto finito ${displaystyle scriptstyle {mathcal {P}}={x_{1},dots ,x_{N}}}$, se llamará ${displaystyle scriptstyle M leq N}$ al número de puntos caen sobre el fractal, es decir, ${displaystyle scriptstyle M = { ext{card}}({mathcal {F}}cap {mathcal {P}})}$; la dimensión fractal de correlación viene dada por:

${displaystyle D_{2}=lim _{varepsilon ightarrow 0,M ightarrow infty }{frac {log(g_{varepsilon }/M^{2})}{log varepsilon }}}$

donde ${displaystyle scriptstyle M}$ es el número de puntos utilizados para generar una representación del fractal y ${displaystyle scriptstyle g_{varepsilon }}$ es el número de pares de puntos que se encuentran más cercanos uno al otro que ${displaystyle scriptstyle varepsilon }$, es decir:

${displaystyle g_{varepsilon }={frac {1}{M^{2}}}sum _{i=1}^{M}sum _{j=1}^{M}H_{varepsilon }(|x_{i}-x_{j}|)}$

Donde:

Las tres anteriores pueden verse como casos especiales de las dimensiones de Rényi de orden α, definidas como

${displaystyle D_{alpha }=lim _{epsilon ightarrow 0}{frac {{frac {1}{1-alpha }}log(sum _{i}p_{i}^{alpha })}{log {frac {1}{epsilon }}}}}$

El numerador es la llamada entropía de Rényi de orden α. La dimensión de Rényi con α=0 trata a todas las partes del atractor de manera similar, pero para valores más grandes de α se da un mayor peso en el cálculo a las partes del atractor que son visitadas con mayor frecuencia. Puede demostrarse la siguiente relación entre las dimensiones de Rényi:^[3]​

${displaystyle alpha _{1}geq alpha _{2}quad Rightarrow quad D_{alpha _{1}}leq D_{alpha _{2}}}$

Un atractor para el cual las dimensiones de Rényi no son todas iguales es conocido como un multifractal, o se dice que muestra estructura multifractal. Esto es una señal de que un comportamiento a escala diferente ocurre en diferentes partes del atractor.

Esta caracterización de la dimensión fractal mediante la dimensión de Hausdorff-Besicovitch se basa en considerar una cubierta abierta por o bolas abiertas (n-esferas) del conjunto fractal, es decir, para un fractal contenido en el plano euclídeo se consideran círculos abiertos, y para un fractal contenido en el espacio euclídeo tridimensional se consideran esferas (para un fractal que sea un subconjunto de la recta real se emplean intervalos abiertos). De todos los recubrimientos posibles se considera el ínfimo formado por bolas de diámetro menor igual que un cierto tamaño ${displaystyle scriptstyle varepsilon }$. Una vez computado ese ínfimo se considera el límite ${displaystyle scriptstyle varepsilon o 0}$. Para ver como se define formalmente el contenido de Hausdorff como:

${displaystyle {egin{cases}{mathcal {H}}_{delta }^{s}(F)=inf left{sum _{i=1}^{infty }|U_{i}|^{s} ight},&|U_{i}|={ ext{diam}}(U_{i})<delta \{mathcal {H}}^{s}(F)=displaystyle lim _{delta ightarrow 0}{mathcal {H}}_{delta }^{s}(F)end{cases}}}$

Con la definición anterior se cumple que el contenido de Hausdorff define una función del conjunto potencia de ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{n}}$ en los reales no negativos (ampliados con el elemento ${displaystyle scriptstyle infty }$):

${displaystyle {mathcal {H}}^{s}:{mathcal {P}}(mathbb {R} ^{n}) o {0}cup mathbb {R} ^{+}cup {infty }}$

Para cualquier conjunto ${displaystyle scriptstyle Fsubset mathbb {R} ^{n}}$ la función anterior tiene la propiedad interesante de ser nula para ${displaystyle scriptstyle s>s_{0}}$ e infinita para ${displaystyle scriptstyle s<s_{0}}$. El valor ${displaystyle scriptstyle s=s_{0}}$ es un real positivo es precisamente la dimensión de Hausdorff-Besicovitch, hecho que puede formularse como:

${displaystyle D_{HB}(F):=sup{s:{mathcal {H}}^{s}(F)=infty }:=inf{s:{mathcal {H}}^{s}(F)=0}}$

Es similar a la dimensión de Hausdorff-Besicovitch pero se define a partir de empaquetamientos, en lugar de a partir recubrimientos. Dada la medida s-dimensional de empaquetamiento ${displaystyle {mathcal {P}}^{s}}$, se puede comprobar que tal como sucede para la dimensión de Hausdorff-Besicovitch, existe un valor umbral s₀, llamado dimensión de empaquetado (o dimensión de empaquetamiento), tal que:^[4]​

${displaystyle forall s<s_{0}:{mathcal {P}}^{s}(E)=infty }$ y ${displaystyle forall s>s_{0}:{mathcal {P}}^{s}(E)=0}$

Por esa razón se puede definir la dimensión de empaquetado simplemente como:

${displaystyle dim _{P}E=inf{s:{mathcal {P}}^{s}(E)=0}=sup{s:{mathcal {P}}^{s}(E)=infty }}$

Obviamente de las propiedades de la medida de Hausdorff-Besicovitch y de la medida de empaquetamiento se sigue que:

${displaystyle dim _{HB}Eleq dim _{P}E}$

Para algunas de las anteriores dimensiones fractales ha podido probarse la siguiente serie de desigualdades:

${displaystyle {egin{matrix}D_{T}leq dots leq dots D_{alpha }leq dots leq D_{2}leq D_{1}leq D_{0}=D_{MB}leq D_{E}leq D_{C}&(alpha >2)\D_{T}leq D_{HB}leq D_{MB}leq D_{E}leq D_{C}end{matrix}}}$

Donde:

Algunas aclaraciones:

Muchas de las dimensiones fractales definidas anteriormente satisfacen todas o algunas de las siguientes propiedades, consideradas deseables para cualquier definición de dimensión:

Los cálculos de dimensiones fractales descritos arriba se obtienen a partir de fractales definidos formalmente. Sin embargo, ciertos fenómenos y objetos de la vida real pueden mostrar propiedades fractales, por lo que puede ser útil obtener la dimensión fractal de un conjunto de datos de una muestra. El cálculo de la dimensión fractal no se puede obtener de forma exacta sino que debe estimarse. Esto se usa en una variedad de áreas de investigación tales como la astronomía,^[6]​^[7]​ acústica,^[8]​ análisis de imágenes,^[9]​ ceros de la función zeta de Riemann,^[10]​ física,^[11]​, medicina^[12]​ e incluso procesos electroquímicos.^[13]​

Las estimaciones prácticas de las dimensiones fractales son muy sensibles al ruido numérico o experimental, y particularmente a las limitaciones en la cantidad de datos. Cualquier afirmación basada en estimaciones de dimensiones fractales deben tomarse con cuidado puesto que hay un límite superior inevitable, a menos que se presenten cantidades muy grandes de datos. Computacionalmente los más sencillos de implementar son el contaje de celdas (box counting) y la dimensión de correlación (basada en generar un número de puntos aleatorios en un entorno del fractal y medir cuantos de ellos caen sobre el conjunto fractal). Otra técnica que se ha hecho popular es la medición del espectro de potencia de la transformada de Fourier de una imagen del objeto fractal.

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