Medida de Lebesgue

En matemáticas, la medida de Lebesgue es la forma estándar de asignar una longitud, área o volumen a los subconjuntos de un espacio euclídeo. Se usa en el análisis real, especialmente para definir la integración de Lebesgue. Los conjuntos a los que se les puede asignar un tamaño se denominan Lebesgue-medibles, o medibles a secas si no hay ambigüedad sobre la medida; el volumen o medida de un conjunto Lebesgue-medible A se denota por λ(A). Un valor de ∞ para la medida de Lebesgue es perfectamente posible, pero aún en ese caso, si se asume el axioma de elección, no todos los conjuntos de Rⁿ son Lebesgue-medibles. El comportamiento «extraño» de los conjuntos no medibles da lugar a tales resultados como la paradoja de Banach-Tarski, una consecuencia del axioma de elección.

La medida de Lebesgue en Rⁿ tiene las siguientes propiedades:

Lo anterior se puede resumir como sigue:

La medida de Lebesgue tiene también la propiedad de ser σ-finita.

Un subconjunto de Rⁿ se dice de medida nula, si para todo ε > 0 se puede recubrir con contables productos de n intervalos, cuyo volumen total es menor que ε. Todos los conjuntos numerables son de medida nula, así como los subconjuntos de Rⁿ de dimensión inferior a n (hiperplanos, por ejemplo líneas o curvas en R²).

Para demostrar que un conjunto arbitrario A es Lebesgue-medible, usualmente se intenta hallar un conjunto "más presentable" B cuya diferencia simétrica con A sea un conjunto nulo, y luego se demuestra que B se puede generar usando uniones e intersecciones numerables de conjuntos abiertos y cerrados.

Cuando una propiedad P se cumple en un conjunto X, excepto quizá en un subconjunto de X de medida nula, se dice que "la propiedad P se cumple en X casi en todas partes".

La construcción moderna de la medida de Lebesgue, basada en medidas exteriores, se debe a Constantin Carathéodory, y se realiza como sigue:

Para cualquier subconjunto B de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, se puede definir

Aquí, vol(M) es la suma de los productos de las longitudes de los intervalos que forman cada ${displaystyle C_{i}}$. Se define entonces que un conjunto A es Lebesgue-medible si

para todo conjunto B. Estos conjuntos Lebesgue-medibles forman una σ-álgebra, y la medida de Lebesgue se define como λ(A) = λ^*(A) para todo conjunto medible A.

Existen, sin embargo, subconjuntos de ${displaystyle mathbb {R} }$ que no son Lebesgue-medibles, por ejemplo el conjunto de Vitali.

La medida de Borel coincide con la de Lebesgue en los conjuntos para los que está definida; sin embargo, hay muchos más conjuntos Lebesgue-medibles que Borel-medibles. La de Borel es invariante por translación pero no completa.

La medida de Haar se puede definir en cualquier grupo topológico localmente compacto, y es una generalización de la medida de Lebesgue; Rⁿ con la suma es un grupo topológico localmente compacto.

La medida de Hausdorff es una generalización de la de Lebesgue, útil para medir los subconjuntos de Rⁿ de dimensión inferior a n, como variedades, superficies o curvas en R³, y conjuntos fractales.

Se puede demostrar que no hay un análogo en infinitas dimensiones de la medida de Lebesgue.

Henri Léon Lebesgue describió su medida en 1901, siguiéndole al año siguiente su descripción de la integración de Lebesgue. Ambas fueron publicadas como parte de su tesis en 1902.

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