Distancia

La menor distancia entre dos puntos recorrida sobre la superficie de una esfera es un arco de círculo máximo: la ortodrómica.

En las matemáticas, la distancia entre dos puntos del espacio euclídeo equivale a la longitud del segmento de la recta que los une, expresado numéricamente. En espacios más complejos, como los definidos en la geometría no euclidiana, el «camino más corto» entre dos puntos es un segmento recto con curvatura llamada geodésica.

En física, la distancia es una magnitud escalar, que se expresa en unidades de longitud.

Existe una biyección (una correspondencia elemento a elemento) entre los puntos de una recta y el conjunto ${displaystyle mathbb {R} }$ de los números reales, de modo que a cada número real le corresponde un solo punto, y a cada punto, exactamente un número real. Para hacer esto se precisa de un punto O y fijo de la recta y otro punto U, tal que por definición 1 es la abscisa de U. Se denota U(1). Están a la derecha los puntos de abscisa positiva, a la izquierda los puntos de abscisa negativa, y el origen O, tiene abscisa 0. Tal recta provista de abscisas para su puntos se denomina recta real.

Si ${displaystyle A(x_{1})}$ y ${displaystyle B(x_{2})}$ son dos puntos de la recta real, entonces la distancia entre los puntos A y B es ${displaystyle d(A,B)=|x_{2}-x_{1}|}$ ^[1]​

Si ${displaystyle A(x_{1},y_{1})}$ y ${displaystyle B(x_{2},y_{2})}$ son dos puntos de un plano cartesiano, entonces la distancia entre dichos puntos es calculable de la siguiente manera: Creese un tercer punto, llamese ${displaystyle P(x_{2},y_{1})}$ a partir del cuál se forma un triángulo rectángulo. Prosiguiendo a usar el Teorema de Pitágoras , con el segmento AB cómo hipotenusa.${displaystyle H^{2}=(cat_{1})^{2}+(cat_{2})^{2}}$. Prosiguiendo a reemplazar la fórmula por los elementos de cada segmento y realizando el procedimiento:

Desde un punto de vista formal, para un conjunto de elementos ${displaystyle X}$ se define distancia o métrica como cualquier función matemática o aplicación ${displaystyle d(a,b)}$ de ${displaystyle X imes X}$ en ${displaystyle mathbb {R} }$ que verifique las siguientes condiciones:

Si dejamos de exigir que se cumpla esta última condición, al concepto resultante se le denomina pseudodistancia o pseudométrica.

La distancia es el concepto fundamental de la Topología de Espacios Métricos. Un espacio métrico no es otra cosa que un par ${displaystyle (X,d)}$, donde ${displaystyle X}$ es un conjunto en el que definimos una distancia ${displaystyle d}$.

En el caso de que tuviéramos un par ${displaystyle (X,d)}$ y ${displaystyle d}$ fuera una pseudodistancia sobre ${displaystyle X}$, entonces diríamos que tenemos un espacio pseudométrico.

Si ${displaystyle (X,d)}$ es un espacio métrico y ${displaystyle Esubset X}$, podemos restringir ${displaystyle d}$ a ${displaystyle E}$ de la siguiente forma: ${displaystyle d':E imes Elongrightarrow mathbb {R} }$ de forma que si ${displaystyle x,yin E}$ entonces ${displaystyle d'(x,y)=d(x,y)}$ (es decir, ${displaystyle d'=d|_{E imes E}}$). La aplicación ${displaystyle d'}$ es también una distancia sobre ${displaystyle d}$, y como comparte sobre ${displaystyle E imes E}$ los mismos valores que ${displaystyle d}$, se denota también de la misma manera, es decir, diremos que ${displaystyle (E,d)}$ es subespacio métrico de ${displaystyle (X,d)}$.

Si ${displaystyle (X,d)}$ es un espacio métrico, ${displaystyle Esubset X}$, ${displaystyle E eq varnothing }$ y ${displaystyle xin X}$, podemos definir la distancia del punto ${displaystyle x}$ al conjunto ${displaystyle E}$ de la siguiente manera:

Es de destacar las siguientes tres propiedades:

Los casos de distancia de un punto a una recta o de distancia de un punto a un plano no son más que casos particulares de la distancia de un punto a un conjunto, cuando se considera la distancia euclidiana.

Puede utilizarse el siguiente método: Dado un punto (n,m) que no pertenece a la recta f(x), 1) Hallar la ecuación de la recta perpendicular a f(x) que pasa por (n,m). Esto acarrea dos pasos: hallar la pendiente (pendiente perpendicular) y hallar la ordenada al origen (reemplazando el punto (n,m) y despejando). 2) Hallar la intersección entre estas dos rectas. Esto acarrea dos pasos: hallar la x de la intersección por igualación, hallar la y de la intersección sustituyendo la x en cualquiera de las dos ecuaciones. Con esto se obtiene el punto (o,p) 3) Hallar la distancia entre (n,m) y (o,p).

Si ${displaystyle (X,d)}$ es un espacio métrico, ${displaystyle Asubset X}$ y ${displaystyle Bsubset X}$, ${displaystyle A eq varnothing }$, ${displaystyle B eq varnothing }$, podemos definir la distancia entre los conjuntos ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ de la siguiente manera:

Por la misma razón que antes, siempre está definida. Además ${displaystyle d(A,A)=0}$, pero puede ocurrir que ${displaystyle d(A,B)=0}$ y sin embargo ${displaystyle A eq B}$. Es más, podemos tener dos conjuntos cerrados cuya distancia sea 0 y sin embargo sean disjuntos, e incluso que tengan clausuras disjuntas.

Por ejemplo, el conjunto ${displaystyle A:={(x,0):xin mathbb {R} }}$ y el conjunto ${displaystyle B:={(x,e^{x}):xin mathbb {R} }}$. Por un lado, ${displaystyle A=operatorname {cl} (A)}$, ${displaystyle B=operatorname {cl} (B)}$ y ${displaystyle Acap B=varnothing }$, y por otro ${displaystyle d(A,B)=0}$.

La distancia entre dos rectas, la distancia entre dos planos, etc. no son más que casos particulares de la distancia entre dos conjuntos cuando se considera la distancia euclidiana.

---