Distributividad

En matemáticas, la distributividad es la propiedad de las operaciones binarias que generaliza la propiedad distributiva del álgebra elemental.^[1]​ La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma en álgebra elemental es aquella en la que el resultado de un número multiplicado por la suma de dos o más sumandos, es igual a la suma de los productos de cada sumando por ese número. En términos algebraicos:

Ejemplo: ${displaystyle 3cdot (5+4)=3cdot (9)=27}$

${displaystyle (3cdot 5)+(3cdot 4)=15+12=27}$

En ambos casos los resultados son iguales. Esta propiedad, particularizada para la suma y el producto, se puede generalizar a cualquier otro par de operaciones aritméticas, obteniendo de esta forma la definición de distributividad.

Sea A un conjunto dado en el que se han definido dos operaciones binarias (${displaystyle circ }$ ; ${displaystyle star }$). Entonces:

Hay que notar que si la operación ${displaystyle circ }$ cumple la propiedad conmutativa, entonces las tres condiciones son equivalentes, y basta que se cumpla una cualquiera de ellas para que las otras dos también se cumplan simultáneamente.

En los siguientes ejemplos, se muestra el uso de la propiedad distributiva en el conjunto de números reales ${displaystyle mathbb {R} }$. Cuando se menciona la multiplicación en matemáticas elementales, generalmente se refiere a este tipo de multiplicación. Desde el punto de vista del álgebra, los números reales forman un campo, lo cual segura la validez de la ley distributiva.

Durante aritmética sin lápiz, a menudo la distributividad se utiliza de manera inconsciente:

Por lo tanto, para calcular ${displaystyle 6cdot 16}$ sin ayuda de lápiz, primero se multiplica ${displaystyle 6cdot 10}$ y ${displaystyle 6cdot 6}$ y se suma los resultados intermedios. La multipicación realizada escribiendo también se basa en la ley distributiva.

En este caso la propiedad distributiva fue aplicada dos veces, y no importa cuál paréntesis se resuelve primero.

En este caso la propiedad distributiva es usada al revés comparada con los casos en los ejemplos anteriores. Sea

Dado que el factor ${displaystyle 6a^{2}b}$ se encuentra en todos los sumandos, se lo puede extraer como factor común. Por lo que de acuerdo a la propiedad distributiva se obtiene

La ley dirtributiva es válida para la multiplicación de matrices. O sea,

para todas matrices ${displaystyle A,B}$ ${displaystyle l imes m}$ y matriz ${displaystyle C,}$ ${displaystyle m imes n}$ como también para todas matriz ${displaystyle A}$ ${displaystyle l imes m}$ y matrices ${displaystyle B,C.}$ ${displaystyle m imes n}$

Como la propiedad conmutativa no es válida para la multiplicación de matrices, la segunda ley no se deriva de la primera ley. En este caso, son dos leyes diferentes.

En la aritmética aproximada, como la aritmética de punto flotante, la propiedad distributiva de la multiplicación (y división) sobre la suma puede fallar debido a las limitaciones de la precisión aritmética. Por ejemplo, la identidad ${displaystyle 1/3+1/3+1/3=(1+1+1)/3}$ falla en la aritmética decimal, independientemente del número de dígitos significativos. Métodos como el redondeo bancario pueden ayudar en algunos casos, al igual que aumentar la precisión utilizada, pero en última instancia, algunos errores de cálculo son inevitables.

En la lógica proposicional funcional de verdad estándar, la distribución^[3]​^[4]​ en las demostraciones lógicas utiliza dos reglas de reemplazo válidas para expandir las ocurrencias individuales de ciertas conectivas lógicas, dentro de alguna fórmula, en aplicaciones separadas de esas conectivas a través de subfórmulas de la fórmula dada. Las reglas son

donde "${displaystyle Leftrightarrow }$>", también escrito ${displaystyle ,equiv ,,}$ es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una prueba con" o "es lógicamente equivalente a".

La distributividad de algunos conectivos lógicos de lógica proposicional funcional de verdad. Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la distributividad es una propiedad de las conectivas particulares. Las siguientes son tautologías funcionales de verdad.

En varias áreas matemáticas se consideran leyes de distributividad generalizadas. Esto puede implicar el debilitamiento de las condiciones anteriores o la extensión a operaciones infinitas. Especialmente en teoría del orden se encuentran numerosas variantes importantes de la distributividad, algunas de las cuales incluyen operaciones infinitas, como la ley distributiva infinita; otras se definen en presencia de sólo una operación binaria, como las definiciones correspondientes y sus relaciones se dan en el artículo distributividad (teoría del orden). Esto también incluye la noción de una red completamente distributiva.

En presencia de una relación de ordenación, también se pueden debilitar las igualdades anteriores sustituyendo ${displaystyle ,=,}$ por ${displaystyle ,leq ,}$ o ${displaystyle ,geq .}$ Naturalmente, esto dará lugar a conceptos significativos sólo en algunas situaciones. Una aplicación de este principio es la noción de subdistributividad, como se explica en el artículo sobre aritmética de intervalos.

En teoría de la categoría, si ${displaystyle (S,mu , u )}$ y ${displaystyle left(S^{prime },mu ^{prime }, u ^{prime } ight)}$ son mónadas en una categoría ${displaystyle C,}$ una ley distributiva ${displaystyle S.S^{prime } o S^{prime }.S}$ es una transformación natural ${displaystyle lambda :S.S^{prime } o S^{prime }.S}$ tal que ${displaystyle left(S^{prime },lambda ight)}$ es un mapa laxo de mónadas ${displaystyle S o S}$ and ${displaystyle (S,lambda )}$ es un mapa colaxo de mónadas ${displaystyle S^{prime } o S^{prime }.}$ Estos son exactamente los datos necesarios para definir una estructura de mónada sobre ${displaystyle S^{prime }.S}$: el mapa de multiplicación es ${displaystyle S^{prime }mu .mu ^{prime }S^{2}.S^{prime }lambda S}$ y el mapa unitario es ${displaystyle eta ^{prime }S.eta .}$.

También se ha propuesto una ley distributiva generalizada en el ámbito de la teoría de la información.

La ubicua identidad que relaciona los inversos con la operación binaria en cualquier grupo, a saber ${displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1},}$ que se toma como axioma en el contexto más general de un semigrupo con involución, se ha llamado a veces una propiedad antidistributiva (de la inversión como operación unaria). ^[5]​

En el contexto de un casi-anillo, que elimina la conmutatividad del grupo escrito aditivamente y asume sólo la distributividad de un lado, se puede hablar de elementos distributivos (de dos lados) pero también de elementos antidistributivos. Estos últimos invierten el orden de la adición (no conmutativa); suponiendo un anillo de izquierda (es decir, que todos los elementos se distribuyen cuando se multiplican por la izquierda), entonces un elemento antidistributivo ${displaystyle a}$ invierte el orden de la adición cuando se multiplica por la derecha: ${displaystyle (x+y)a=ya+xa.}$^[6]​

En el estudio de la lógica proposicional y el álgebra de Boole, el término ley antidistributiva se utiliza a veces para denotar el intercambio entre la conjunción y la disyunción cuando la implicación es un factor sobre ellas:^[7]​

Estas dos tautologías son una consecuencia directa de la dualidad en las leyes de De Morgan.

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