Álgebra elemental
El álgebra elemental incluye los conceptos básicos de álgebra, que es una de las ramas principales de las matemáticas. Mientras que en la aritmética solo ocurren los números y sus operaciones aritméticas elementales (como +, –, ×, ÷), en álgebra también se utilizan símbolos para denotar números (como «x», «y», «a», «b»). Estos se denominan variables, incógnita, coeficientes, índices o raíz, según el caso. El término álgebra elemental se usa para distinguir este campo del álgebra abstracta, la parte de la matemática que estudia las estructuras algebraicas.
Lo anterior es útil porque:
Estas tres son los hilos principales del álgebra elemental, que deben distinguirse del álgebra abstracta, un tema más avanzado que generalmente se enseña a los estudiantes universitarios.
En álgebra elemental, una expresión puede contener números, variables y operaciones aritméticas. Por convención, estos generalmente se escriben con los términos con exponente más altos a la izquierda (ver polinomio); algunos ejemplos son:
En un álgebra más avanzada, una expresión también puede incluir funciones elementales.
Una ecuación es la aseveración de que dos expresiones son iguales. Algunas ecuaciones son verdades para todos los valores de las variables implicadas (por ejemplo ); tales ecuaciones son llamadas identidades. Las ecuaciones condicionales son verdades para solamente algunos valores de las variables implicadas: . Los valores de las variables que hacen la ecuación verdadera se llaman las soluciones de la ecuación.
Al igual que en la aritmética, en el álgebra se usan las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, y división. Adicionalmente están las operaciones de potenciación, radicación y logaritmos.
Los signos de operación son:
Indican la relación que hay entre dos expresiones. Los signos de relación son:
Los signos de agrupación se usan para cambiar el orden de prioridad de las operaciones. Las operaciones indicadas dentro de ellos deben realizarse primero y deben atender, así como las indicadas fuera de ellos, al orden de las operaciones.
Los signos de agrupación son:
Los signos de agrupación tienen su orden de jerarquía para realizar la operación. El orden de realización de las operaciones es el siguiente:
Los signos de agrupación también pueden ir dentro de otros signos de agrupación, y en este caso también se respeta el orden de jerarquía: los paréntesis van dentro de los corchetes, los corchetes van dentro de las llaves, y las llaves van dentro de las barras.
Si luego de un número sigue un número dentro de un signo de agrupación se sobreentiende que es una multiplicación.
La multiplicación también puede darse si hay un punto (no confundir con el punto decimal que al igual que la coma decimal es un separador decimal). Mayormente se utiliza para multiplicar monomios con una variable.
Resumen de multiplicación:
3 × 2 = 3 (2) = 3 [2] = 3 {2} = 3 |2| = 3 · 2
Un término es una expresión algebraica elemental donde se encuentran solo operaciones de multiplicación y división de números y letras. El número se llama coeficiente y las letras conforman la parte literal. Tanto el número como cada letra pueden estar elevados a una potencia. En una expresión algebraica con varios términos, estos están separados con signos de suma y resta.
El término independiente, es el que consta de solo un valor numérico y no tiene parte literal.
Los términos semejantes son los que tienen exactamente la misma parte literal (con las mismas letras elevadas a los mismos exponentes), y varían solo en el coeficiente. Solo se pueden sumar y restar términos semejantes. No se pueden sumar y restar términos que no sean semejantes; sin embargo, se puede multiplicar y dividir todo tipo de términos. Si en una expresión algebraica hay varios términos semejantes, estos se pueden simplificar sumándolos o restándolos.
Un polinomio es una expresión algebraica en la cual solo intervienen las operaciones de suma, resta y multiplicación, así como exponentes enteros positivos. Cuando el polinomio consta de uno, de dos o de tres términos se llama monomio, binomio o trinomio, respectivamente. Generalmente, un polinomio P en la variable x se expresa como:
Es el valor que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos y luego realizar las operaciones del polinomio.
Para completar el valor de una expresión, es necesario calcular partes de ella en un orden particular, conocido como el orden de prioridad o el orden de precedencia de las operaciones. Primero se calculan los valores de las expresiones encerradas en signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), luego las multiplicaciones y divisiones y, por último, las sumas y las restas.
La relación de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes:
La relación de desigualdad (<) tiene las siguientes propiedades:
En el producto y en el cociente de números positivos (+) y negativos (-) se cumplen las siguientes reglas:
