Disyunción exclusiva

En lógica proposicional, la disyunción exclusiva (también llamado bidisyuntor lógico, disyuntor excluyente, "or" fuerte, "or" exclusivo, o desigualdad material) es un operador lógico simbolizado como XOR, EOR, EXOR, ⊻ , ⊕ o ${displaystyle leftrightarrow }$ es un tipo de disyunción lógica de dos operandos.

Podemos definir la disyunción exclusiva: ${displaystyle leftrightarrow }$, a través de la función de verdad de sus conectivas lógicas:

Una disyunción exclusiva solamente es verdadera cuando ambas frases tienen valores diferentes y es falsa si las dos frases son ambas verdaderas o ambas falsas.

Una tabla de la verdad de la disyunción exclusiva es como ésta:

La diferencia entre la disyunción exclusiva y la disyunción inclusiva es que en la disyunción inclusiva hay "información adicional",^[1]​ que "del inicio es claro que uno de las dos alternativas debe ser verdadera",^[2]​ es decir que no sólo al menos que una situación, sino que más de una de las dos situaciones existen. ^[1]​

Las equivalencias de la disyunción exclusiva incluye:

La importancia de la disyunción exclusiva en la lógica moderna es baja, "porque deja formular pocas relaciones."^[4]​ Sin embargo, en el Álgebra de Boole la disyunción exclusiva es de gran importancia; la propiedad, que la doble aplicación de la disyunción exclusiva resulta en la identidad, es útil en la criptografía, donde deja de utilizar la misma función en el cifrado y el desciframiento, y también en el uso del sistema RAID.

La disyunción exclusiva ${displaystyle p leftrightarrow q}$ puede ser expresada en términos de conjunción lógica (${displaystyle wedge }$), disyunción lógica (${displaystyle lor }$), y negación (${displaystyle lnot }$) de la siguiente manera:

La disyunción exclusiva ${displaystyle p leftrightarrow q}$ puede ser expresada de la siguiente manera:

Esta representación del XOR puede resultar útil en la construcción de un circuito o una red, ya que sólo tiene un operador ${displaystyle lnot }$ y un número reducido de operadores ${displaystyle wedge }$ y ${displaystyle lor }$. La prueba de esta identidad es la siguiente:

A veces es útil escribir ${displaystyle p leftrightarrow q}$ de las siguientes formas:

Esta equivalencia se puede establecer mediante la aplicación de las Leyes de De Morgan dos veces para la cuarta línea de la prueba anterior.

La disyunción exclusiva es asociativa y conmutativa. Además, es su propia inversa y distributiva con respecto a la conjunción lógica, mas no con respecto a la condicional: ${displaystyle Awedge (B leftrightarrow C)=(Awedge B) leftrightarrow (Awedge C)}$