Ecuación lineal

Una ecuación entera de primer grado o ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En la enseñanza secundaria se abordan con mucho énfasis las de una y dos variables.

Este tipo de ecuaciones están incorporados en los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP) para abordar en los primeros años de la Educación Secundaria para saber usar estrategias algebraicas para encontrar soluciones.^[1]​

Ecuación de primer grado y una variable

${displaystyle ax+b=0;,quad a eq 0}$

Una ecuación de una variable ${displaystyle mx+n=0}$ definida sobre un cuerpo ${displaystyle mathbb {K} }$, es decir, con ${displaystyle {m,n,x}subset mathbb {K} ,m eq 0}$ donde x es la variable, admite la siguiente solución:

${displaystyle x=-{frac {n}{m}}}$

La solución de una ecuación lineal de una variable, se puede representar en una gráfica con una recta paralela al eje vertical

Cuando tanto la incógnita como los coeficientes son elementos de un anillo que no es un cuerpo, el asunto es más complicado ya que sólo existirán soluciones cuando m divide a n, si el anillo es un dominio de integridad:

${displaystyle exists k:n=mcdot kRightarrow x=-k}$

La incorporación de dos variables a las ecuaciones lineales produce que se puedan interpretar relaciones matemáticas entre ellas. La educación secundaria aborda este concepto a través de la modelización matemática de situaciones problemáticas. ^[2]​

Una de las formas algebraicas más utilizada en las ecuaciones lineales de dos variables es :

${displaystyle y=mx+n}$;

También se conoce como forma explícita.

Donde ${displaystyle m}$ representa la pendiente y el valor de ${displaystyle n}$ determina el punto donde la recta corta al eje Y (la ordenada al origen).

En el sistema cartesiano las ecuaciones lineales con dos incógnitas representan rectas.

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales con dos incógnitas pueden ser los siguientes:

Algunos necesitan de la utilización de técnicas algebraicas para representarlas como la forma explícita de las rectas. ^[3]​

Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.

${displaystyle x=E}$

Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: ${displaystyle 3x+2=3x}$.

Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultáneas. Para más información véa: Sistema lineal de ecuaciones.

Las ecuaciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas, cuando los coeficientes de la ecuación pertenecen a un cuerpo. Así una función lineal de dos variables de la forma siguiente

${displaystyle f(x,y)=a_{1}x+a_{2}y}$

representa una recta en un plano. En varias variables asumiendo que tanto las variables ${displaystyle x_{i}in mathbb {K} }$ y los coeficientes ${displaystyle a_{i}in mathbb {K} }$, donde ${displaystyle mathbb {K} }$ es un cuerpo entonces una ecuación lineal como la siguiente:

${displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}}$

representa un hiperplano de n-1 dimensiones en el espacio vectorial n-dimensional ${displaystyle mathbb {K} ^{n}}$.

Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.

${displaystyle left{{egin{array}{rrrcr}5,x&-3,y&+4,z&=&8\-3,x&+2,y&+6,z&=&5\4,x&-5,y&+3,z&=&3end{array}} ight.}$

Si se consideran n ecuaciones de primer grado linealmente independientes definidas sobre un cuerpo entonces existe solución única para el sistema si se dan las condiciones del teorema de Rouché-Frobenius, que puede ser calculada mediante la regla de Cramer que es aplicable a cualquier cuerpo. Si las ecuaciones no son linealmente independientes o no se dan las condiciones del teorema la situación es más complicada. Si el sistema se plantea sobre un anillo conmutativo que no sea un cuerpo, la existencia de soluciones es también más complejas.

Una función definida sobre un espacio vectorial es lineal si y solo si se cumple con la siguiente proposición:

Donde α es cualquier escalar. También se llama a f operador lineal.

Weisstein, Eric W. «Ecuación lineal». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

1- NAP Matemática, Ciclo Básico

2-Una aproximación a la ecuación lineal

3- Ejemplos de soluciones de ecuaciones lineales de dos variables