Ecuación polinómica

En la matemática, especialmente en el álgebra superior, una ecuación algebraica de grado superior es una ecuación de la forma P(x) = 0 donde P(x) es un polinomio no nulo ni constante, con coeficientes enteros, cuyo grado se supone n ≥ 2.^[1]​^[2]​ Donde x denota un número real o complejo desconocido que la satisface, esto es que reemplazado en P(x) da cero como resultado. Cualquier número que satisface la ecuación se llama raíz; el problema de resolver una ecuación significa hallar todas sus raíces. Cuando el grado del polinomio es n se dice que la ecuación correspondiente es de grado n. ^[3]​

Por ejemplo, el polinomio con coeficientes enteros

${displaystyle P(x)=x^{3}-6x-8}$

determina la ecuación ${displaystyle P(x)=0}$, es decir, ${displaystyle x^{3}-6x-8=0}$. Las resolución de esta ecuación determina las raíces de la ecuación, las cuales se interpretan geométricamente como sigue.

La gráfica de la función polinómica ${displaystyle y=P(x)}$ es una curva, donde los ceros del polinomio , si son reales, son las abscisas de los puntos de la curva donde corta al eje Ox o es tangente al mismo.^[4]​ Una ecuación de grado impar, si tiene por lo menos una raíz real. Luego un punto en Ox, (x,0) para dicha raíz ^[5]​

Las ecuaciones algebraicas de orden superior están ya documentadas en Mesopotamia y diversas tablillas cuneiformes tratan con problemas prácticos que ofrecen la resolución de este tipo de ecuación. De hecho la solución general de ecuaciones de segundo grado con coeficientes positivos ya era conocida por los pueblos mesopotámicos. También en la matemática china se conocía desde antiguo la solución de este tipo de ecuaciones.

Tanto los matemáticos árabes como chinos, consideraron problemas particulares en los que intervenían ecuaciones cúbicas y de órdenes superiores. En la obra del matemático chino Li Chih (o Li Yeh, 1192-1279) se consideran incluso algunos problemas que involucran ecuaciones de sexto grado. Sin embargo, parece que la primera solución general y sistemática de las ecuaciones de tercer y cuarto grado fue obtenida por matemáticos italianos del siglo XVI. La solución de estas ecuaciones se podía realizar en términos de radicales. El estudio de soluciones generales llevó a estos matemáticos incluso a considerar por primera vez los números complejos, más frecuentemente en los cálculos intermedios necesarios para encontrar ciertos soluciones reales.

La ecuación quíntica (y las de grado superior a 5) no admitían soluciones generales construibles en términos de radicales por lo que su estudio fue más complicado y no se desarrollaron soluciones en términos de funciones trascendentes hasta el siglo XIX, por parte de matemáticos europeos.

Ecuaciones que no son algebraicas sobre ${displaystyle mathbb {Q} }$, por no ser sus algunos de sus coeficientes números racionales:

Según los valores que asuma ${displaystyle n=1,2,3,4,...,etc.}$ surgen las ecuaciones de la forma

de grado 1, 2, 3, 4, etc. o ecuaciones lineal, cuadrática, cúbica, cuártica, etc. Se asume que el coeficiente principal ${displaystyle a_{0}}$ es distinto de cero; aunque ninguna condición se establece para los demás coeficientes. ^[8]​

Resolver ecuaciones algebraicas de una sola variable es relativamente sencillo para los grados 1 y 2.

Si k es una raíz de la ecuación

se deduce del teorema del resto que P(x)es divisible por (x-k) y se cumple

donde ${displaystyle P_{1}(x)}$ es un polinomio de grado n-1.

Si ${displaystyle k_{1}}$ es otra raíz distinta de k se obtiene

donde ${displaystyle P_{2}(x)}$ es un polinomio de grado n-2. Y así sucesivamente.

Una ecuación de segundo grado

${displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

no siempre admite solución sobre ${displaystyle scriptstyle mathbb {K} }$, aunque sí la admite sobre su clausura algebraica (si se trata de un cuerpo de característica nula). Existen a lo sumo dos soluciones, dadas por:

${displaystyle x_{1}={frac {-b+{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},qquad x_{2}={frac {-b-{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Puede ser que alguna de las soluciones anteriores, definibles sobre la clausura algebraica no son números del cuerpo ${displaystyle scriptstyle mathbb {K} }$. Por ejemplo la ecuación:

${displaystyle x^{2}-2=0}$

No admite solución sobre ${displaystyle scriptstyle mathbb {Q} }$ pero sí la admite sobre su clausural algebraica y también sobre ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} }$ (ya que contiene a la clausura algebraica de ${displaystyle scriptstyle mathbb {Q} }$).

Para ecuaciones de tercer y cuarto grado también pueden construirse las soluciones de la ecuación sobre la clausura algebraica de ${displaystyle scriptstyle mathbb {K} }$ mediante el método de los radicales. Esto fue anticipado por Gerolamo Cardano, Tartaglia y Lodovico Ferrari, entre otros, en el siglo XVI. Sin embargo, para grado 5 o mayor, no tiene por qué existir una solución construible mediante el método de radicales, hecho probado por Évariste Galois a principios del siglo XIX.^[9]​

Una ecuación algebraica en el cuerpo de los racionales siempre puede convertirse en una ecuación con coeficientes enteros. Por ejemplo, tomemos la ecuación de tercer grado:

${displaystyle -7x^{3}+{egin{matrix}{frac {2}{3}}end{matrix}}x^{2}-5x+3=0}$

multiplicando por tres toda la ecuación tenemos:

${displaystyle -21x^{3}+2x^{2}-15x+9=0.,!}$

La forma estándar de este tipo de ecuación, sin embargo, tiene un coeficiente unitario al principio:

${displaystyle x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0}$

Si todos los otros coeficientes son enteros, entonces las raíces de la ecuación son enteros algebraicos.

La ecuación ${displaystyle x^{n}-k^{n}=0}$ tiene una raíz igual a k, para cualquier natural mayor que 1 y c, entero.

La ecuación ${displaystyle x^{n}-k^{n}=0}$, detenta una raíz igual a -c para n natural par.

La ecuación ${displaystyle x^{n}+k^{n}=0}$ posee una raíz igual a -c para cualquier n, natural impar.

^[10]​

Por ejemplo, la ecuación

es consecuencia de la ecuación

.

En otros términos, si el conjunto solución de la ecuación F = 0 es parte del conjunto solución de la ecuación G = 0, esta es consecuencia de la ecuación F = 0.

Como ejemplo, la ecuación

y la ecuación

son equivalentes; sus conjuntos solución son iguales.

como ejemplo, la ecuación de quinto grado

${displaystyle x^{5}-3x^{4}+4x^{3}-2x^{2}+3x-1=0}$

que se factoriza en

${displaystyle (x-1)^{3}(x^{2}+1)=0}$

que tiene una raíz tripe el 1 y dos raíces conjugadas i y -i.

${displaystyle 9x^{4}-12x^{3}+225x^{2}+12x-234=0}$

una de cuyas raíes es el número complejo

${displaystyle {frac {2}{3}}+5i}$ por lo tanto otra raíz, de hecho, lo es también ${displaystyle {frac {2}{3}}-5i}$

${displaystyle 4x^{4}+14x^{3}+x^{2}-3x-3=0}$

que puede ser factorizado como

${displaystyle (x-{frac {sqrt {3}}{2}})(x+{frac {sqrt {3}}{2}})(x^{2}+x+1)=0}$, el trinomio es irreduducible en el conjunto ℝ de los números reales

${displaystyle x^{3}-3x^{2}+1=0}$

que tiene dos raíces reales irracionales

${displaystyle 2+{sqrt {3}}}$ y ${displaystyle 2-{sqrt {3}}}$

${displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0}$

tiene como raíz el número racional ${displaystyle {frac {p}{q}}}$, entonces p es divisor de a_n y que es divisor de a₀.

${displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0}$

(redundando: de coeficientes enteros) tiene una raíz entera k, entonces a_n es divisible por k. Por ejemplo la ecuación

${displaystyle x^{3}-x-6=0}$

con seguridad tiene por lo menos una raíz real entera, la que tiene que ser divisor de 6. Potencialmente serían ${displaystyle pm 1,pm 2pm 3,pm 6}$. Precisamente el número entero 2 es una raíz, las otras dos son complejas conjugadas.

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