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Eje de revolución



Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:

La utilización de superficies de revolución es esencial en diversos campos de la física y la ingeniería, así como en el diseño, cuando se dibujan objetos digitalmente, sus superficies pueden ser calculadas de este modo sin necesidad de medir la longitud o el radio del objeto.

La alfarería, y el torneado industrial, moldean y modelan volúmenes con variadas superficies de revolución de gran utilidad y uso cotidiano.

Si la curva está definida por las funciones y , perteneciendo a un intervalo y siendo el eje de revolución el eje coordenado , el área estará dada, entonces, por la integral

siendo siempre positiva. Esta ecuación es equivalente al Teorema del centroide de Pappus. Asimismo, la cantidad

se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, como en la ecuación de la longitud de arco. La cantidad es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución.

Asimismo, cuando el eje de rotación es el eje x y siempre que y(t) nunca sea negativo, el área viene dada por

Si la curva está definida por la función , la integral se transforma en

para una curva que gira alrededor del eje "x" de las abscisas, y


para una curva definida por la función que gira alrededor del eje "y" de las ordenadas. [1]


Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario, está generada por la curva y cuando toma valores en el intervalo . Su área, por tanto, será

Una superficie de revolución puede ser parametrizada mediante una coordenada a lo largo de su generatriz u y una coordenada angular v de tal manera que:

Las curvas con u = constante, son círculos llamados paralelos, mientras que las líneas con v = constante, llamados meridianos son líneas geodésicas de longitud y curvatura mínimas. Además los coeficientes de la primera forma fundamental o tensor métrico de una superficie resultan ser:


Por lo que la métrica es diagonal. En cuanto a la segunda forma fundamental relacionada con la curvatura de la superficie también toma una forma particularmente simple:




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