Eje de revolución

Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:

La utilización de superficies de revolución es esencial en diversos campos de la física y la ingeniería, así como en el diseño, cuando se dibujan objetos digitalmente, sus superficies pueden ser calculadas de este modo sin necesidad de medir la longitud o el radio del objeto.

La alfarería, y el torneado industrial, moldean y modelan volúmenes con variadas superficies de revolución de gran utilidad y uso cotidiano.

Si la curva está definida por las funciones ${displaystyle x(t)}$ y ${displaystyle y(t)}$, perteneciendo ${displaystyle t}$ a un intervalo ${displaystyle [a,b]}$ y siendo el eje de revolución el eje coordenado ${displaystyle Y}$, el área ${displaystyle A}$ estará dada, entonces, por la integral

${displaystyle A_{y}=2pi int _{a}^{b}x(t) {sqrt {left({{ ext{d}}x over { ext{d}}t} ight)^{2}+left({{ ext{d}}y over { ext{d}}t} ight)^{2}}},{ ext{d}}t}$

siendo ${displaystyle x(t)}$ siempre positiva. Esta ecuación es equivalente al Teorema del centroide de Pappus. Asimismo, la cantidad

${displaystyle { ext{d}}s={sqrt {left({{ ext{d}}x over { ext{d}}t} ight)^{2}+left({{ ext{d}}y over { ext{d}}t} ight)^{2}}}}$

se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, como en la ecuación de la longitud de arco. La cantidad ${displaystyle 2pi x(t)}$ es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución.

Asimismo, cuando el eje de rotación es el eje x y siempre que y(t) nunca sea negativo, el área viene dada por

${displaystyle A_{x}=2pi int _{a}^{b}y(t),{sqrt {left({dx over dt} ight)^{2}+left({dy over dt} ight)^{2}}},dt.}$

Si la curva está definida por la función ${displaystyle y=f(x)}$, la integral se transforma en

${displaystyle A_{x}=2pi int _{a}^{b}y,{sqrt {1+left({frac {{ ext{d}}y}{{ ext{d}}x}} ight)^{2}}},{ ext{d}}x=2pi int _{a}^{b}f(x){sqrt {1+{ig (}f'(x){ig )}^{2}}},dxqquad aleq xleq b}$

para una curva que gira alrededor del eje "x" de las abscisas, y

${displaystyle A_{y}=2pi int _{a}^{b}x,{sqrt {1+left({frac {{ ext{d}}y}{{ ext{d}}x}} ight)^{2}}},{ ext{d}}xqquad ageq 0}$

para una curva definida por la función ${displaystyle y=f(x)}$ que gira alrededor del eje "y" de las ordenadas. ^[1]​

Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario, está generada por la curva ${displaystyle x(t)=cos(t)}$ y ${displaystyle y(t)=sen(t)}$ cuando ${displaystyle t}$ toma valores en el intervalo ${displaystyle [0,pi ]}$. Su área, por tanto, será

${displaystyle A=2pi int _{0}^{pi }sin(t){sqrt {left(cos(t) ight)^{2}+left(sin(t) ight)^{2}}},{ ext{d}}t=2pi int _{0}^{pi }sin(t),{ ext{d}}t=4pi }$

Una superficie de revolución puede ser parametrizada mediante una coordenada a lo largo de su generatriz u y una coordenada angular v de tal manera que:

${displaystyle mathbf {r} (u,v)=( ho (u)cos v, ho (u)sin v,h(u))quad {mbox{con}} vin [0,2pi )}$

Las curvas con u = constante, son círculos llamados paralelos, mientras que las líneas con v = constante, llamados meridianos son líneas geodésicas de longitud y curvatura mínimas. Además los coeficientes de la primera forma fundamental o tensor métrico de una superficie resultan ser:

Por lo que la métrica es diagonal. En cuanto a la segunda forma fundamental relacionada con la curvatura de la superficie también toma una forma particularmente simple:

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