Equicontinuidad

Equicontinuidad nació en X.

Sean ${displaystyle (X,{mathcal {T}}),}$ espacio topológico, ${displaystyle (Y,d),}$ espacio métrico, y ${displaystyle x_{0}}$ un punto en ${displaystyle X}$. Un conjunto ${displaystyle H}$ de funciones de ${displaystyle X}$ en ${displaystyle Y}$ se dice equicontinuo en ${displaystyle x_{0}}$ si y solamente si para todo ${displaystyle r>0,exists A}$ entorno de ${displaystyle x_{0}}$ tal que ${displaystyle forall fin H,f(A)subseteq B(f(x_{0}),r)}$

Notar que, en particular, si ${displaystyle H}$ es equicontinuo en ${displaystyle x_{0}}$, entonces todas las funciones que pertenecen a ${displaystyle H}$ son continuas en ${displaystyle x_{0}}$.

Decimos que ${displaystyle H}$ es equicontinua si lo es para todo ${displaystyle x_{0}in X}$.

Esta última propiedad es una de las más usadas para verificar equicontinuidad de una familia de funciones.