Espacio T1

En topología un espacio T₁ o de Fréchet es un caso particular de espacio topológico.

Un espacio topológico ${displaystyle E}$ es ${displaystyle T_{1}}$ si para cada pareja de elementos distintos ${displaystyle x}$, ${displaystyle y}$ de ${displaystyle E}$ existe un abierto que contiene a ${displaystyle x}$ y no a ${displaystyle y}$. Esto claramente implica que también existe un abierto que contiene a ${displaystyle y}$ y no a ${displaystyle x}$, ya que también se cumple para la pareja ${displaystyle y}$, ${displaystyle x}$. Por tanto, también se suele definir como un espacio topológico tal que para cada pareja de elementos distintos ${displaystyle x}$ e ${displaystyle y}$ de ${displaystyle E}$ existe un abierto que contiene a ${displaystyle x}$ y no a ${displaystyle y}$ y también existe un abierto que contiene a ${displaystyle y}$ y no a ${displaystyle x}$

Notar que no es necesario que estos dos abiertos sean disjuntos (si esto ocurriera para todo ${displaystyle x}$ e ${displaystyle y}$, sería un espacio de Hausdorff o ${displaystyle T_{2}}$).

Sea ${displaystyle X}$ un espacio topológico. Son equivalentes:

La propiedad de ser T₁ es hereditaria, es decir, los subespacios de un T₁ es también T₁.^[1]​

Un espacio topológico es T₁ si y solo si cada punto es un conjunto cerrado.^[3]​^[5]​