Espacio de Hausdorff

En topología, un espacio de Hausdorff, separado o ${displaystyle T_{2}}$ es un espacio topológico en el que puntos distintos tienen entornos disjuntos.

Los espacios de Hausdorff se llaman así en honor de Felix Hausdorff, uno de los fundadores de la topología. La definición original de Hausdorff de un espacio topológico (de 1914) incluía la propiedad de Hausdorff como axioma.

Todo espacio métrico (y por lo tanto todo espacio normado) es un espacio de Hausdorff.

Se dice que dos puntos ${displaystyle x}$ e ${displaystyle y}$ de un espacio topológico ${displaystyle X}$ cumplen la propiedad de Hausdorff si existen dos entornos ${displaystyle U_{x}}$ de ${displaystyle x}$ y ${displaystyle U_{y}}$ de ${displaystyle y}$ tales que ${displaystyle U_{x}cap U_{y}=varnothing }$.

Se dice que un espacio topológico es un espacio de Hausdorff (o que verifica la propiedad de Hausdorff, o que es separado o que es ${displaystyle T_{2}}$) si todo par de puntos distintos del espacio verifican la propiedad de Hausdorff.

(Obsérvese que si x = y, x e y no verifican la propiedad de Hausdorff.)