Espacio afín

Históricamente, la noción de espacio afín procede del descubrimiento de nuevas geometrías perfectamente coherentes diferentes de la Geometría Euclidiana que revisan los conceptos de longitud, asociadas con el de distancia y de ángulo, propias de la geometría de Euclides. El resultado es una geometría en la que el espacio se presenta como una estructura matemática próxima a la del espacio vectorial.

El espacio afín puede definirse de varios modos equivalentes.

Dado un conjunto no vacío ${displaystyle E_{}^{}}$ diremos que es un espacio afín asociado a un espacio vectorial ${displaystyle V_{}^{}}$ si se tiene la siguiente aplicación:^[1]​

${displaystyle {egin{matrix}varphi :&E imes E&longrightarrow {}&V\&(a,b)&longmapsto &varphi (a,b)end{matrix}}}$

tal que se cumplan:

Los elementos de ${displaystyle E_{}^{}}$ se llaman puntos.

Se designa al vector ${displaystyle varphi (a,b),}$ por la notación ${displaystyle {overrightarrow {ab}}}$, así la propiedad 2 se escribe como:

La dimensión de un espacio afín es la dimensión del espacio vectorial asociado.

Observación:

De la definición del espacio afín resultan las siguientes propiedades:

Dados ${displaystyle a,b,c,d,}$ y ${displaystyle a_{1},...,a_{n},}$ puntos cualesquiera en un espacio afín ${displaystyle E,}$.

Tenemos:

${displaystyle {overrightarrow {aa}}+{overrightarrow {aa}}={overrightarrow {aa}}Rightarrow }$ ${displaystyle {overrightarrow {aa}}={vec {0}}}$.

${displaystyle Rightarrow ),Si,{overrightarrow {ab}}={vec {0}},y,{overrightarrow {aa}}={vec {0}},}$ entonces como ${displaystyle varphi _{a}}$ es biyectiva, se tiene que ${displaystyle a=b}$.

${displaystyle Leftarrow ),Si,a=bRightarrow }$ ${displaystyle {overrightarrow {ab}}={overrightarrow {aa}}={vec {0}},}$.

${displaystyle {overrightarrow {ab}}+{overrightarrow {ba}}={overrightarrow {aa}}={vec {0}}Rightarrow }$ ${displaystyle {overrightarrow {ab}}=-{overrightarrow {ba}}}$

Directo a partir de ${displaystyle {overrightarrow {ac}}+{overrightarrow {cd}}={overrightarrow {ad}}={overrightarrow {ab}}+{overrightarrow {bd}}.}$

Dado un espacio afín ${displaystyle E,}$ sobre ${displaystyle V,}$ mediante ${displaystyle varphi ,}$ y un vector ${displaystyle uin V}$, una traslación de vector ${displaystyle u,}$ en ${displaystyle E,}$ es una aplicación dada por:

Observaciones:

Dados los vectores ${displaystyle u,vin V}$ se tiene:

${displaystyle T_{u}(a)=bLeftrightarrow }$ ${displaystyle u=varphi (a,b)}$

${displaystyle T_{v}(b)=cLeftrightarrow }$ ${displaystyle v=varphi (b,c)}$

${displaystyle Rightarrow T_{u}circ T_{v}=T_{u+v}.}$

Un espacio afín ${displaystyle E,}$ sobre ${displaystyle V,}$ queda univocamente determinado por el conjunto:^[2]​

si cumple:

Observación:

${displaystyle T_{u}circ T_{-u}=T_{u-u}=T_{vec {0}}=IdRightarrow }$ ${displaystyle T_{-u}=T_{u}^{-1}.}$

Es directo, aplicando el resultado sobre la hipótesis.

Ejemplos:

${displaystyle {egin{matrix}varphi :&V imes V&longrightarrow {}&{vec {V}}\&(u,v)&longmapsto &{vec {w}}&=v-uend{matrix}}}$

Esta aplicación cumple las dos condiciones:

1) ${displaystyle varphi _{u}}$ es biyectiva ya que ${displaystyle varphi _{u}^{-1}({vec {w}})=w+u.}$

2) ${displaystyle varphi (u,v)+varphi (v,w)=(v-u)+(w-v)}$ ${displaystyle =w-u}$ ${displaystyle =varphi (u,w)}$

Por tanto es un espacio afín.

Traslación de vector 0 en el punto 0.

Traslación de vector u y -u.

Traslación de un vector u a v.

Se usa como notación algebraica de ${displaystyle u={vec {ab}}}$:^[5]​

lo cual justifica la notación.

Dicha notación resiste el uso de producto de elementos del cuerpo ${displaystyle K,}$ por vectores:

de uso puramente cuantitativo, se tiene que:^[6]​

No queda definido un sentido para el resto de casos.

Un subespacio afín es un subconjunto de un espacio afín que es a su vez un espacio afín.

Dado ${displaystyle E,}$ un espacio afín sobre ${displaystyle V,}$ mediante ${displaystyle varphi }$ y ${displaystyle Usubset V}$ un subespacio vectorial. Se espera que ${displaystyle F,}$ sea un espacio afín sobre ${displaystyle U,}$ con ${displaystyle varphi _{vert F imes F}}$ por tanto está bien definida, además ha de cumplir las dos condiciones de espacio afín:

Dado un espacio afín ${displaystyle E,}$ sobre ${displaystyle V,}$, ${displaystyle ain E}$ y ${displaystyle Usubset V}$ un subespacio vectorial. Llamaremos variedad lineal por ${displaystyle a,}$ y dirección ${displaystyle U,}$ al conjunto ${displaystyle Fsubset E}$ tal que:

Dados ${displaystyle u,vin E}$ diremos que pertenecen a un mismo espacio ${displaystyle F,}$ de dirección ${displaystyle U,}$ si ${displaystyle u-vin U}$.

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