Espacio separable

En topología, un espacio topológico es un espacio separable si incluye un subconjunto denso numerable.

Un espacio de Hilbert es separable si y solamente si admite una base ortonormal numerable.

Sea ${displaystyle (H,langle cdot ,cdot angle )}$ un espacio de Hilbert separable. Si {e_k}_{k ∈ B} es una base ortonormal numerable de H, entonces cada elemento x de H se puede escribir como

Esta suma también se llama la expansión de Fourier de x.

Ejemplos de espacios de Hilbert son ${displaystyle mathbb {K} ^{n},}$ con ${displaystyle mathbb {K} =mathbb {R} }$ o ${displaystyle mathbb {K} =mathbb {C} ,}$ el espacio de las sucesiones complejas cuadrado-sumables ${displaystyle ell ^{2}(mathbb {K} )}$ y el espacio de las funciones cuadrado-integrables en el sentido de Lebesgue ${displaystyle L^{2}(mathbb {R} ^{n}).}$ Una gran variedad de espacios de Hilbert que se presentan en la práctica son separables y son en particular los espacios ${displaystyle mathbb {K} ^{n}}$ y ${displaystyle ell ^{2}(mathbb {K} )}$ los prototipos principales de espacios de Hilbert, pues todo espacio de Hilbert separable de dimensión finita ${displaystyle n,}$ es isomorfo a ${displaystyle mathbb {K} ^{n}}$ mientras que todo espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es isomorfo a ${displaystyle ell ^{2}(mathbb {K} )}$.

${displaystyle sum _{xin S_{f}}|f(x)|^{2}<infty }$

Constituye un espacio de Hilbert no separable, dotado del producto escalar entre dos funciones f y g:

${displaystyle langle f,g angle =sum _{S_{f}cap S_{g}}{overline {f(x)}}g(x)}$

Necesariamente estas funciones de este espacio de Hilbert no son continuas, ya que los espacios normados de funciones reales continuas definidas en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$son siempre separables.