Espacio vectorial topológico

Un espacio vectorial topológico es un espacio de puntos que aúna la estructura típica de un espacio vectorial convencional y un espacio topológico, es decir, es un espacio vectorial sobre el que se ha definido una estructura topológica.

Probablemente los ejemplos más sencillos son el plano euclídeo y el espacio euclídeo en los que la topología se define mediante la distancia euclídea. El conjunto de bolas abiertas consistentes en el conjunto de puntos que equidistan de uno dado menos de una cierta distancia son una colección de conjuntos que permite construir la base de la topología. Además de este ejemplo los espacios normados como los espacios de Hilbert o los espacios de Sobolev son otros ejemplos de espacios topológicos más complicados (estos últimos suelen tener dimensión infinita y se usan en análisis funcional).

Un espacio vectorial topológico es un espacio vectorial ${displaystyle (E,+,cdot )}$ sobre un cuerpo ${displaystyle k}$, dotado de una topología ${displaystyle au }$ donde los puntos son cerrados y de tal manera que las aplicaciones:

${displaystyle {egin{array}{cccc}+:&E imes E&longrightarrow &E\,&(a,b)&mapsto a+b\end{array}}}$

y

${displaystyle {egin{array}{cccc}cdot :&k imes E&longrightarrow &E\,&(alpha ,b)&mapsto alpha cdot b\end{array}}}$

son continuas (usando en los productos cartesianos las respectivas topologías producto) respecto a la topología ${displaystyle au }$.