Espacio de Sóbolev

Un espacio de Sóbolev es un tipo de espacio vectorial funcional, dotado de una norma de tipo L^p, tal que la función y sus derivadas hasta cierto orden tienen norma finita. Un espacio de Sóbolev puede ser considerado como un subespacio de un espacio L^p, estos espacios reciben su nombre del matemático ruso Serguéi Sóbolev.

Un espacio de Sóbolev es un espacio vectorial normado de funciones, que puede verse como un subespacio de un espacio L^p. De hecho un espacio de Sóbolev es un subespacio vectorial del espacio L^p formado por clases de funciones tales que sus derivadas hasta orden m pertenecen también a L^p. Dado un dominio ${displaystyle scriptstyle Omega subset mathbb {R} ^{n}}$ el espacio de Sobolev ${displaystyle scriptstyle W^{m,p}(Omega ),}$ se define como:

${displaystyle W^{m,p}(Omega )={fin L^{p}(Omega )| D^{alpha }fin L^{p}(Omega ), forall alpha in mathbb {N} ^{n}:|alpha |leq m }subset L^{p}(Omega )}$

Donde ${displaystyle D^{alpha }f,}$ es la notación multi-índice para las derivadas parciales. Debe tenerse presente que dicho espacio, al igual que L^p(Ω), está de hecho formado realmente por clases de equivalencia de funciones.

La norma del espacio de Sóbolev se define a partir de la norma ${displaystyle |cdot |_{L^{p}(Omega )}}$ de L^p:

${displaystyle |f|_{m,p,Omega }=left[sum _{|alpha |leq m}|D^{alpha }f|_{L^{p}(Omega )}^{p} ight]^{1/p},qquad 1leq p<infty }$

${displaystyle |f|_{m,infty ,Omega }=max _{|alpha |leq m}|D^{alpha }f|_{L^{infty }(Omega )}}$

Algunas propiedades interesantes son:

Esta última propiedad permite definir un subespacio de clases de equivalencia de funciones que se anulan sobre la frontera, a partir de la clausura topológica:

${displaystyle W_{0}^{m,p}(Omega )={overline {W^{m,p}(Omega )cap C_{0}^{infty }(Omega )}}}$

Los espacios de Sóbolev, con ${displaystyle p=2,}$ están dotados de manera natural de la estructura de espacio de Hilbert al igual que los espacios L²:

${displaystyle H^{m}(Omega )equiv W^{m,2}(Omega )}$

Donde el producto interno se define a partir del producto interno de L²:

${displaystyle (f,g)_{H^{m}(Omega )}=sum _{|alpha |leq m}(D^{alpha }f,D^{alpha }g)_{L^{2}(Omega )}}$

Análogamente al caso de los espacios ${displaystyle W_{0}^{m,p}(Omega )}$ se define el espacio:

${displaystyle H_{0}^{m}(Omega )={overline {H^{m}(Omega )cap C_{0}^{infty }(Omega )}}}$

Dado el intervalo [a, b], se puede definir el espacio de Sobolev ${displaystyle scriptstyle H^{1}([a,b])}$ a partir del espacio de funciones continuamente diferenciables sobre [a, b] con un producto escalar obtenido por la integral definida desde a hasta b, de la suma de los productos de funciones con el producto de sus derivadas:

(*)${displaystyle int _{a}^{b}[x(t)y(t)+x'(t)y'(t)]dt}$

Dicho espacio no es completo; su completación es un espacio de Hilbert llamado espacio de Sóbolev y denotado H ${displaystyle ^{1}}$.

Propiedad: El espacio ${displaystyle scriptstyle H^{1}([a,b])}$ está encajado en el espacio de las funciones continuas ${displaystyle scriptstyle C^{1}[a,b]}$.