Evoluta

Se llama evoluta de una curva "C" dada, al lugar geométrico de los centros de curvatura de "C".

Sea la curva formada por el conjunto de puntos (x,y) donde x e y son funciones dependientes de una variable, normalmente llamada t para hacer referencia al tiempo. Entonces se puede escribir las coordenadas de la evoluta de la forma

donde a cada (x,y) - o lo que es lo mismo, a un valor de t que determina un punto de la curva - le corresponde un centro de curvatura (X,Y) en función de ese t. La relación entre ese punto y su centro de curvatura permite conocer el radio de curvatura (y por tanto su inversa, la curvatura):
${displaystyle R=1/k={frac {(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}{x'y''-x''y'}},}$

Si y=f(x), es decir, una variable depende de la otra, se puede simplificar observando los resultados de tomar x=t e y=f(t). Los centros de curvatura serán entonces:
${displaystyle left.{egin{matrix}x_{C}=&x-displaystyle {frac {y'(1+y'^{2})}{y''}}\y_{C}=&y+displaystyle {frac {1+y'^{2}}{y''}}end{matrix}} ight}}$ y el radio ${displaystyle R=1/k={frac {(1+y'^{2})^{3/2}}{y''}}}$

Eliminando x e y entre ellas se tiene la ecuación de la evoluta:

${displaystyle F(x_{C},y_{C})=0}$

Dada la elipse:

${displaystyle left.{egin{matrix}x=&a cos t\y=&b mathrm {sen} tend{matrix}} ight}}$

Su evoluta viene dada por:

${displaystyle left.{egin{matrix}x=&displaystyle {frac {a^{2}-b^{2}}{a}}cos ^{3}t\y=&displaystyle {frac {b^{2}-a^{2}}{b}}mathrm {sen} ^{3}tend{matrix}} ight}}$ que, eliminando el parámetro, queda: ${displaystyle (ax)^{frac {2}{3}}+(by)^{frac {2}{3}}=(a^{2}-b^{2})^{frac {2}{3}}}$

La evoluta de una circunferencia es un punto.

La evoluta de una elipse es una astroide alargada.

La evoluta de una espiral logarítmica es otra espiral logarítmica con el mismo centro y ángulo.

La evoluta de una parábola es una parábola semicúbica.

La evoluta de ${displaystyle f(x)=x^{3},}$

La evoluta de ${displaystyle f(x)=x^{4},}$