Exincentro

Una circunferencia exinscrita a un triángulo es una circunferencia tangente a uno de los lados del triángulo y a las prolongaciones de los otros dos.

Al centro de la circunferencia exinscrita se le llama exincentro. Se pueden trazar tres circunferencias exinscritas para cada triángulo.^[1]​

Sea ABC un triángulo (en verde en la figura). Tracemos sus lados, considerados como rectas (en negro). Las bisectrices interiores y exteriores (en rojo) se intersecan en cuatro puntos: uno es el centro del círculo inscrito (en pardo), y los demás son centros de los círculos exinscritos (en amarillo). Estos últimos están "inscritos" en el sentido de que son tangentes simultáneamente a los tres lados, y se hallan al exterior del triángulo, de ahí su apelación.

Para demostrar que dos bisectrices exteriores de dos ángulos de un triángulo y la bisectriz interna del tercer ángulo concurren tomemos, por ejemplo, la bisectriz interior en A y las exteriores en B y C:

Por lo anterior, el punto A' es equidistante de los tres lados (AB), (AC) y (BC). Sea d esta distancia común. Entonces el círculo de centro A' y de radio d es tangente a los tres lados del triángulo ABC.

A continuación el valor del radio de cada circunferencia exinscrita:

El exincentro es el centro de una circunferencia exinscrita; es la intersección de las bisectrices de cualesquiera dos de los tres ángulos exteriores y la bisectriz interior del ángulo opuesto del lado tangente de un triángulo.^[3]​ Todo triángulo posee tres exincentros, uno en el trapecio infinito exterior de cada lado..

Desde él, se puede trazar una circunferencia que es tangente a un lado y la prolongación de los otros dos.

Como consecuencia de que la circunferencia es tangente a las prolongaciones de los lados, la distancia mayor desde el vértice a los puntos de tangencia son iguales y sumadas equivalen al perímetro del triángulo.