Expansión de Laurent

En matemáticas, la serie de Laurent de una función compleja ${displaystyle f(z)}$ es la representación de la misma función en la forma de una serie de potencias, la cual también incluye términos de grado negativo. Esta serie se puede usar para expresar funciones complejas en casos donde una expansión de la serie de Taylor no es aplicable o no se puede acoplar. La serie de Laurent fue descubierta por Karl Weierstrass en el año de 1841, pero no lo publicó en ese entonces,^[1]​ paralelamente, el matemático francés Pierre Alphonse Laurent desarrolló las series, y fue quien la publicó por primera vez en el año 1843.^[2]​

Una serie de Laurent se define con respecto a un punto particular ${displaystyle c}$ y un camino de integración ${displaystyle gamma }$. El camino de integración debe estar dentro de una región donde ${displaystyle f(z)}$ es una función holomorfa (a veces se usa como sinónimo el término función analítica, aunque no es estrictamente correcto, dado que una función analítica es técnicamente aquella que admite desarrollo en serie de potencias en cierto entorno de un punto, lo que ocurre es que en ${displaystyle mathbb {C} }$ toda función holomorfa es también analítica).

Una serie de Laurent centrada alrededor de un punto ${displaystyle c}$ es una serie de la forma:

donde ${displaystyle a_{n},c,zin mathbb {C} }$. Los coeficientes de una serie de Laurent en una función analítica se pueden encontrar por medio de la fórmula integral de Cauchy y están dados por:

para ${displaystyle nin mathbb {Z} }$. La sucesión de constantes están definidas por un camino de integración en la generalización de la fórmula integral de Cauchy.

Podemos demostrar que esta serie es convergente dentro del conjunto (posiblemente vacío):

Donde:

Toda serie de Laurent tiene vinculada una función de la forma:

cuyo dominio es el conjunto de puntos en ${displaystyle mathbb {C} }$ sobre el cual es convergente. Esta función es analítica dentro de una corona ${displaystyle D}$; inversamente, toda función en una corona es igual a una única serie de Laurent.

Si suponemos :${displaystyle sum _{n=-infty }^{infty }a_{n}(z-c)^{n}}$ es una serie de Laurent con coeficientes a_n y un centro complejo c. Entonces existe un radio interior r y un radio exterior R de tal forma que:

La serie de Laurent es muy importante en el análisis complejo, especialmente para investigar el comportamiento de funciones cerca de singularidades, pues permite saber qué tipos de singularidades tiene una función. Así, si expandimos una función en serie de Laurent, tomando como centro una singularidad y como radio interior cero, la cantidad de potencias negativas en la serie indicará que tipo de singularidad es: