Serie de potencias

En matemáticas, una serie de potencias es una serie de la forma:

alrededor de x=c, en el cual el centro es c, y los coeficientes ${displaystyle a_{n}}$ son los términos de una sucesión y que usualmente corresponde con la serie de Taylor de alguna función conocida.

En ocasiones, el centro c de la serie es igual a cero, con lo que la serie se denomina serie de Maclaurin y toma la forma simple

Es de utilidad al momento de construir conjuntos fundamentales de soluciones para ecuaciones diferenciales lineales de 2° orden cuyos coeficientes son funciones de una variable independiente.

Sea :${displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$ serie de potencias, obtenemos su representación como una serie de potencias convergente estableciendo el Teorema de Taylor, el cual nos dice que si ${displaystyle f}$ es analítica en un disco abierto centrado en ${displaystyle z_{0}}$ entonces la serie de Taylor de ${displaystyle f}$ , ${displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {(f^{n})(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n};}$ converge en el disco y es igual a ${displaystyle f(z)}$ en todo ese disco.

Teorema de convergencia de series de potencias

Sea:${displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$ una serie de potencias. Existe un único número ${displaystyle Rgeq 0}$, quizá mayor a infinito ${displaystyle infty }$; llamado el radio de convergencia, tal que si ${displaystyle left|z-z_{0} ight|<R}$ , la serie converge y si ${displaystyle left|z-z_{0} ight|>R}$, la serie diverge. Específicamente la convergencia es uniforme y absoluta en cualquier disco cerrado en ${displaystyle A={{zin C:left|z-z_{o} ight|<R}}}$. No podemos generalizar la convergencia si ${displaystyle left|z-z_{0} ight|=R}$.

Demostración:

Siendo ${displaystyle R=sup{rgeq 0mid sum _{n=0}^{infty }mid a_{n}mid r^{n}converge}}$, donde sup es la cota superior más chica de ese conjunto de números reales.

Para continuar con la demostración auxiliándonos del Lema de Abel-Weierstrass donde suponiendo que ${displaystyle r_{0}geq 0}$ y que ${displaystyle mid a_{n}mid r_{0}^{n}leq M}$ para toda n, donde M es una constante. Para ${displaystyle r<r_{0},sum _{n=0}^{infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$ converge uniforme y absolutamente en el disco cerrado ${displaystyle A_{r}={z:mid z-z_{0}mid leq r}}$. Su demostración menciona lo siguiente: para ${displaystyle zin A_{r}}$ tenemos, ${displaystyle |a_{n}(z-z_{0})^{n}|leq |a_{n}|r^{n}leq M({frac {r}{r_{0}}})^{n}}$. Sea ${displaystyle M_{n}=M({frac {r}{r_{0}}})^{n}}$ ya que ${displaystyle r/r_{0}<1,sum M_{n}}$ converge. Gracias al criterio de M de Weierstrass la serie converge uniforme y absolutamente en ${displaystyle A_{r}}$.

Sea ${displaystyle r_{0}<R}$. Por la definición de R, existe una ${displaystyle r_{1}}$ con ${displaystyle r_{0}<r_{1}leq R}$ tal que ${displaystyle sum |a_{n}|r_{1}^{n}}$ converge. Por lo tanto,${displaystyle sum |a_{n}|r_{1}^{n}}$ converge, gracias al criterio de comparación. Los términos ${displaystyle |a_{n}|r_{0}^{n}}$ están acotados (a cero) y, por tanto, por el lema

de Abel-Weierstrass, la serie converge uniforme y absolutamente en ${displaystyle A_{r}}$ para cualquier ${displaystyle r<r_{0}}$. Puesto que cualquier ${displaystyle z}$ con${displaystyle |z-z_{0}|<R}$ está en alguna ${displaystyle A_{r}}$ y viendo que

siempre podemos escoger ${displaystyle r_{0}}$ tal que ${displaystyle r<r_{0}leq R}$, tenemos la convergencia en ${displaystyle z}$.

Supongamos ahora que ${displaystyle |z_{1}-z_{0}|>R}$ y ${displaystyle sum a_{n}(z_{1}-z_{0})^{n}}$ converge. Deduciendo una contradicción. Los términos ${displaystyle a_{n}(z_{1}-z_{0})^{n}}$están acotados en valor absoluto porque se aproximan al O. Así, por el lema de Abel-Weierstrass, si ${displaystyle R<r<|z_{1}-z_{0}|}$, entonces ${displaystyle a_{n}(z_{1}-z_{0})^{n}}$ converge absolutamente si${displaystyle z_{1}in A_{r}}$. Por lo tanto. ${displaystyle sum |a_{n}|r^{n}}$converge. Esto significa, por la definición de ${displaystyle R}$, que ${displaystyle R<R}$.

Hemos demostrado que la convergencia es uniforme y absoluta en cada disco cerrado ${displaystyle A_{r}}$ estrictamente menor y, por tanto, en cualquier disco cerrado en A.

La serie geométrica

es una serie de potencias, absolutamente convergente si ${displaystyle |x|<1}$ y divergente si ${displaystyle |x|>1}$ o ${displaystyle |x|=1}$ y es uno de los ejemplos más importantes de este tipo de series, como también lo son la fórmula de la función exponencial

y la fórmula del seno

válidas para todos los reales x. Estas series de potencias son ejemplos de series de Taylor.