Función de Chebyshov

En matemáticas, la función de Chebyshov es alguna de dos funciones relacionadas. La primera función de Chebyshov ϑ(x) o θ(x) se expresa como:

con el sumatorio comprendiendo todos los números primos p menores que x. La segunda función de Chebyshov ${displaystyle psi (x)}$ se define como:

donde ${displaystyle Lambda }$ es la función de von Mangoldt. Se usa frecuentemente la función de Chebyshov en pruebas relacionadas con los números primos, ya que es más fácil de usar que la función contadora de primos, ${displaystyle pi (x)}$. Ambas funciones son asintóticas a ${displaystyle x}$, lo cual equivale al teorema de los números primos.

Ambas funciones se llaman así en recuerdo de Pafnuti Chebyshov.

Un teorema de Erhard Schmidt asegura que, para cualquier real, positivo K, existen valores de x tal que

y

se cumple en infinitas ocasiones.^[1]​^[2]​ En notación O, podríamos expresar lo anterior como

Hardy y Littlewood^[2]​ probaron un resultado más fuerte:

La segunda función de Chebyshov puede relacionarse con la primera escribiéndola como

donde k es el único entero que cumple ${displaystyle p^{k}leq x}$ pero ${displaystyle p^{k+1}>x}$. Una relación más directa es la dada por

Nótese que este última suma solo tiene un número finito de sumandos que no se cancelan, ya que

La segunda función de Chebyshov es el logaritmo del mínimo común múltiplo de los enteros comprendidos entre 1 y n.

La función de Chebyshov puede ser relacionada con la función ${displaystyle pi (x)}$ de la siguiente manera. Defina

Entonces

La relación entre ${displaystyle Pi (x)}$ y la función contadora de primos, ${displaystyle pi (x)}$, se tiene en la siguiente ecuación

Ciertamente ${displaystyle pi (x)leq x}$, de manera que la última relación se puede escribir en la forma

La primera función de Chebyshov es el logaritmo del primorial de x, denotado por x#:

Esto prueba que el primorial x# es asintóticamente igual a exp((1+o(1))x), donde "o" es el símbolo de Landau (o notación o-pequeña, véase notación O) y junto con el teorema de los números primos, establece un comportamiento asintótico de p_n#.

La función suavizante se define como

Se puede demostrar que

En 1895, Hans Carl Friedrich von Mangoldt halló^[3]​ una expresión explícita para ${displaystyle psi (x)}$, que contiene una suma sobre los ceros no triviales de la función zeta de Riemann:

donde ${displaystyle ho }$ recorre todos los ceros no triviales de la función zeta, y

En la serie de Taylor para el logaritmo, el último término de la fórmula explícita puede ser interpretado como el sumatorio de ${displaystyle -x^{omega }/{omega }}$ sobre todos los ceros no triviales de la función zeta, ${displaystyle omega =-2,-4,-6,ldots }$, es decir,

Pierre Dusart^[4]​ probó los siguientes comportamientos asintóticos para las funciones de Chebyshov:

Estas anteriores, junto con ${displaystyle psi (x)geq vartheta (x)}$, dan una buena caracterización de estas dos funciones.

La función de Chebyshov evaluada en x = exp(t) minimiza el funcional

entonces

para c > 0.